与えられた数式の値を計算します。数式は $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算します。数式は $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$ です。

2. 解き方の手順

まず、分母を有理化するために、分母の共役な複素数 $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ を分子と分母に掛けます。

$$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$$

分子は $(\sqrt{6} - \sqrt{2})^2$ となり、展開すると

$(\sqrt{6})^2 - 2 \times \sqrt{6} \times \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 6 - 2\sqrt{12} + 2 = 8 - 2\sqrt{12} = 8 - 2\sqrt{4 \times 3} = 8 - 2 \times 2 \sqrt{3} = 8 - 4\sqrt{3}$

分母は $(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})$ となり、これは $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ の形なので、

$(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2 = 6 - 2 = 4$

したがって、

$\frac{8 - 4\sqrt{3}}{4} = \frac{4(2 - \sqrt{3})}{4} = 2 - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$2 - \sqrt{3}$