$y = |x^2 - 4|$ のグラフと $y = 2x + k$ のグラフが4個の共有点を持つように、$k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$y = |x^2 - 4|$ のグラフと $y = 2x + k$ のグラフが4個の共有点を持つように、$k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = |x^2 - 4|$ のグラフを描くことを考えます。

$y = x^2 - 4$ のグラフは、下に凸な放物線で、$x$軸との交点は $x = \pm 2$、 $y$軸との交点は $y = -4$ です。

$y = |x^2 - 4|$ のグラフは、$y = x^2 - 4$ のグラフの $y < 0$ の部分を $x$ 軸に関して折り返したものです。

したがって、$y = |x^2 - 4|$ のグラフは、$x = \pm 2$ で $x$軸に接し、$(0, 4)$ を頂点とするグラフになります。

次に、$y = 2x + k$ のグラフは傾きが2の直線であり、$k$ は $y$ 切片を表します。

$y = |x^2 - 4|$ のグラフと $y = 2x + k$ のグラフが4個の共有点を持つためには、$y = 2x + k$ のグラフが、$y = |x^2 - 4|$ のグラフの $x < -2$ の部分、$x > 2$ の部分、$-2 < x < 2$ の部分のそれぞれで交点を持つ必要があります。

$y = x^2 - 4$ と $y = 2x + k$ が接する場合を考えます。

$x^2 - 4 = 2x + k$ より、$x^2 - 2x - (4 + k) = 0$

判別式 $D = (-2)^2 - 4(1)(-4 - k) = 4 + 16 + 4k = 20 + 4k$

$D = 0$ のとき、接するので、$20 + 4k = 0$ より、$k = -5$

このとき、接点の $x$ 座標は、$x = \frac{-(-2)}{2(1)} = 1$

接点は $(1, -3)$ であり、$y = |x^2 - 4|$ のグラフでは、$y = -(x^2 - 4) = -x^2 + 4$ の部分です。

$y = -x^2 + 4$ と $y = 2x + k$ が接する場合を考えます。

$-x^2 + 4 = 2x + k$ より、$x^2 + 2x + (k - 4) = 0$

判別式 $D = 2^2 - 4(1)(k - 4) = 4 - 4k + 16 = 20 - 4k$

$D = 0$ のとき、接するので、$20 - 4k = 0$ より、$k = 5$

このとき、接点の $x$ 座標は、$x = \frac{-2}{2(1)} = -1$

接点は $(-1, 3)$ です。

$y = 2x + k$ が $(0, 4)$ を通るとき、$4 = 2(0) + k$ より、$k = 4$

$k = -5$ のとき接し、$k=4$ のとき頂点を通るので、$-5 < k < 4$のとき、$y = |x^2 - 4|$ と $y = 2x + k$ は4個の交点を持ちます。

ただし、$k=5$のときも接する場合ですが、この場合は2つの交点しかもたないので、$k$の範囲には入りません。

3. 最終的な答え

$-5 < k < 4$