与えられた式 $(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc = a(ab+bc+ca) + b(ab+bc+ca) + c(ab+bc+ca) - abc$

$= a^2b + abc + ca^2 + ab^2 + b^2c + abc + abc + bc^2 + c^2a - abc$

$= a^2b + ca^2 + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + 2abc$

次に、この式を整理して、因数分解しやすい形にします。この式は $a, b, c$ に関して対称性を持っているので、$a$ について整理してみます。

$a^2b + ca^2 + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + 2abc = (b+c)a^2 + (b^2 + 2bc + c^2)a + (b^2c + bc^2)$

$= (b+c)a^2 + (b+c)^2 a + bc(b+c)$

ここで、$b+c$ が共通因数であることがわかるので、$(b+c)$ でくくります。

$(b+c)a^2 + (b+c)^2 a + bc(b+c) = (b+c)[a^2 + (b+c)a + bc]$

次に、括弧の中の $a$ の二次式を因数分解します。

$a^2 + (b+c)a + bc = (a+b)(a+c)$

したがって、全体の式は次のように因数分解できます。

$(b+c)[a^2 + (b+c)a + bc] = (b+c)(a+b)(a+c)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$