定義域 $0 \le x \le 2$ をもつ関数 $f(x)$ が以下のように定義されている。 $f(x) = \begin{cases} 0 & (0 \le x \le \frac{1}{2}) \\ 2x^2 - \frac{1}{2} & (\frac{1}{2} \le x \le 2) \end{cases}$ 曲線 $y = f(x)$ を $y$ 軸の周りに回転させてできる曲面の形をした容器がある。この容器に空の状態から毎秒 $\pi$ の割合で水を注ぐ。水を注ぎ始めてから5秒後の状態について、 (1) 水面の底面からの高さを求めよ。 (2) 水面の上昇速度を求めよ。

1. 問題の内容

定義域 $0 \le x \le 2$ をもつ関数 $f(x)$ が以下のように定義されている。

$f(x) = \begin{cases} 0 & (0 \le x \le \frac{1}{2}) \\ 2x^2 - \frac{1}{2} & (\frac{1}{2} \le x \le 2) \end{cases}$

曲線 $y = f(x)$ を $y$ 軸の周りに回転させてできる曲面の形をした容器がある。この容器に空の状態から毎秒 $\pi$ の割合で水を注ぐ。水を注ぎ始めてから5秒後の状態について、

(1) 水面の底面からの高さを求めよ。

(2) 水面の上昇速度を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 水を注ぎ始めてから5秒後の水の量は $5\pi$ である。

$0 \le x \le \frac{1}{2}$ の区間では $f(x) = 0$ であるため、この範囲の体積は0である。

次に、$\frac{1}{2} \le x \le 2$ の区間を考える。

$y = 2x^2 - \frac{1}{2}$ を $x$ について解くと、$2x^2 = y + \frac{1}{2}$ より $x^2 = \frac{1}{2}y + \frac{1}{4}$ となる。

$y$ 軸周りの回転体の体積 $V$ は、

$V = \int_0^h \pi x^2 dy = \int_0^h \pi (\frac{1}{2}y + \frac{1}{4}) dy$

ここで、$h$ は水面の高さである。

$0 \le h \le f(\frac{1}{2}) = 0$ のとき、$V = 0$ となり、水面の高さは0である。

$h > 0$ のとき、$\frac{1}{2} \le x \le 2$ の範囲で $V$ を計算する。

$V = \int_0^h \pi (\frac{1}{2}y + \frac{1}{4}) dy = \pi [\frac{1}{4}y^2 + \frac{1}{4}y]_0^h = \pi (\frac{1}{4}h^2 + \frac{1}{4}h)$

水の量は $5\pi$ なので、

$\pi (\frac{1}{4}h^2 + \frac{1}{4}h) = 5\pi$

$\frac{1}{4}h^2 + \frac{1}{4}h = 5$

$h^2 + h = 20$

$h^2 + h - 20 = 0$

$(h + 5)(h - 4) = 0$

$h = -5, 4$

$h > 0$ なので、$h = 4$

$\frac{1}{2} \le x \le 2$ の範囲で $0 \le y \le f(2) = 2 \cdot 2^2 - \frac{1}{2} = 8 - \frac{1}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$ より、$0 < 4 < 7.5$ なので、$h = 4$ は妥当である。

(2) 水面の上昇速度を求める。

$V = \pi (\frac{1}{4}h^2 + \frac{1}{4}h)$

$\frac{dV}{dt} = \pi$ （毎秒 $\pi$ の割合で水を入れている）

$\frac{dV}{dt} = \pi (\frac{1}{2}h + \frac{1}{4}) \frac{dh}{dt}$

$\pi = \pi (\frac{1}{2}h + \frac{1}{4}) \frac{dh}{dt}$

$1 = (\frac{1}{2}h + \frac{1}{4}) \frac{dh}{dt}$

$\frac{dh}{dt} = \frac{1}{\frac{1}{2}h + \frac{1}{4}} = \frac{4}{2h + 1}$

$h = 4$ のとき、

$\frac{dh}{dt} = \frac{4}{2(4) + 1} = \frac{4}{9}$

3. 最終的な答え

(1) 水面の底面からの高さ：4

(2) 水面の上昇速度：$\frac{4}{9}$