直線 $y = 2x - 1$ と $45^\circ$ ($\frac{\pi}{4}$) の角をなす直線の傾きを求めます。

1. 問題の内容

直線 $y = 2x - 1$ と $45^\circ$ ($\frac{\pi}{4}$) の角をなす直線の傾きを求めます。

2. 解き方の手順

2つの直線がなす角の正接（タンジェント）の公式を利用します。

2つの直線の傾きをそれぞれ $m_1$ , $m_2$ とすると、2つの直線がなす角を $\theta$ としたとき、

$\tan{\theta} = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$

が成り立ちます。

この問題では、$m_1 = 2$ , $\theta = \frac{\pi}{4}$ であり、$m_2$ を求めます。

$\tan{\frac{\pi}{4}} = 1$ なので、

$1 = \left| \frac{2 - m_2}{1 + 2 m_2} \right|$

となります。絶対値を外すと、

$\frac{2 - m_2}{1 + 2 m_2} = 1$ または $\frac{2 - m_2}{1 + 2 m_2} = -1$

(i) $\frac{2 - m_2}{1 + 2 m_2} = 1$ のとき、

$2 - m_2 = 1 + 2 m_2$

$3 m_2 = 1$

$m_2 = \frac{1}{3}$

(ii) $\frac{2 - m_2}{1 + 2 m_2} = -1$ のとき、

$2 - m_2 = -1 - 2 m_2$

$m_2 = -3$

3. 最終的な答え

求める直線の傾きは、$\frac{1}{3}$ と $-3$ です。