当たりくじが2本、ハズレくじが6本の計8本のくじがある。引いたくじは元に戻さないとき、1回目と4回目のどちらか一方のみ当たりを引く確率を求めよ。

1. 問題の内容

当たりくじが2本、ハズレくじが6本の計8本のくじがある。引いたくじは元に戻さないとき、1回目と4回目のどちらか一方のみ当たりを引く確率を求めよ。

2. 解き方の手順

1回目のみ当たりを引く確率と、4回目のみ当たりを引く確率をそれぞれ計算し、それらを足し合わせることで求める。

(1) 1回目のみ当たりを引く確率

1回目に当たりを引く確率は $2/8 = 1/4$ である。

2回目、3回目はハズレを引く必要があるので、その確率はそれぞれ $6/7$ と $5/6$ である。

4回目にハズレを引く確率は、それまでに引いたくじの種類によって異なる。

- 1回目に当たりを引いた場合、残りの当たりくじは1本、ハズレくじは6本。

- 2回目、3回目はハズレを引くので、4回目にハズレを引く確率は $4/5$となる。

したがって、1回目のみ当たりを引く確率は、

$\frac{2}{8} \times \frac{6}{7} \times \frac{5}{6} \times \frac{6}{5} = \frac{1}{4} \times \frac{6}{7} \times \frac{5}{6} \times \frac{6}{5} = \frac{3}{14}$

(2) 4回目のみ当たりを引く確率

1回目、2回目、3回目はハズレを引く必要があるので、その確率はそれぞれ $6/8, 5/7, 4/6$ である。

4回目に当たりを引く確率は、それまでに引いたくじの種類によって異なる。

4回目に当たりを引く確率は $2/5$ となる。

したがって、4回目のみ当たりを引く確率は、

$\frac{6}{8} \times \frac{5}{7} \times \frac{4}{6} \times \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{7} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \times \frac{1}{7} \times \frac{2}{1} \times \frac{2}{1} \times \frac{2}{5} \times \frac{5}{1} \times \frac{4}{6}= \frac{240}{840}= \frac{2}{14} = \frac{3}{14}$

(3) 求める確率

1回目のみ当たりを引く確率と4回目のみ当たりを引く確率を足し合わせる。

$\frac{3}{14} + \frac{3}{14} = \frac{6}{28} = \frac{3}{14}$

3. 最終的な答え

3/14