点A(1,2)を通り、直線$2x+5y-1=0$に平行な直線と垂直な直線のそれぞれの方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

点A(1,2)を通り、直線$2x+5y-1=0$に平行な直線と垂直な直線のそれぞれの方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 平行な直線の方程式を求める。

与えられた直線$2x+5y-1=0$と平行な直線は、$2x+5y+k=0$ (kは定数)と表すことができます。この直線が点A(1,2)を通るので、$x=1$, $y=2$を代入して$k$の値を求めます。

$2(1) + 5(2) + k = 0$

$2 + 10 + k = 0$

$k = -12$

よって、平行な直線の方程式は$2x+5y-12=0$となります。

(2) 垂直な直線の方程式を求める。

与えられた直線$2x+5y-1=0$の傾きは、変形すると$5y=-2x+1$となり、$y=-\frac{2}{5}x+\frac{1}{5}$なので、$-\frac{2}{5}$です。

垂直な直線の傾きは、元の直線の傾きの逆数の符号を反転させたものなので、$\frac{5}{2}$となります。

点A(1,2)を通り、傾きが$\frac{5}{2}$の直線の方程式は、$y-2=\frac{5}{2}(x-1)$と表すことができます。これを整理します。

$y-2 = \frac{5}{2}x - \frac{5}{2}$

$y = \frac{5}{2}x - \frac{5}{2} + 2$

$y = \frac{5}{2}x - \frac{1}{2}$

両辺に2を掛けて整理すると、$2y = 5x - 1$より、$5x - 2y - 1 = 0$となります。

3. 最終的な答え

平行な直線の方程式：$2x+5y-12=0$

垂直な直線の方程式：$5x-2y-1=0$