$\alpha = \frac{\pi}{3}$、$\beta = \frac{\pi}{4}$のとき、$\sin(\alpha + \beta)$と$\cos(\alpha + \beta)$の値を求めなさい。

画像に数式が示されているようですが、問題そのものが示されていません。そこで、この画像にある三角関数の加法定理を扱う問題を作成し、それを解くことにします。

1. 問題の内容

$\alpha = \frac{\pi}{3}$、$\beta = \frac{\pi}{4}$のとき、$\sin(\alpha + \beta)$と$\cos(\alpha + \beta)$の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、$\sin(\alpha + \beta)$と$\cos(\alpha + \beta)$の加法定理を確認します。

問題の画像にあるように、これらの公式は以下の通りです。

$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

次に、$\alpha = \frac{\pi}{3}$と$\beta = \frac{\pi}{4}$における$\sin$と$\cos$の値を求めます。

$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

これらの値を加法定理の公式に代入します。

$\sin(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}) = \sin \frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$\cos(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}) = \cos \frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

3. 最終的な答え

$\sin(\alpha + \beta) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$\cos(\alpha + \beta) = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$