次の方程式を解きます。 (1) $9^x - 3^x - 6 = 0$ (2) $3^x - 2 \cdot 3^{2-x} = 7$

1. 問題の内容

次の方程式を解きます。

(1) $9^x - 3^x - 6 = 0$

(2) $3^x - 2 \cdot 3^{2-x} = 7$

2. 解き方の手順

(1) $9^x - 3^x - 6 = 0$

$9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$なので、$3^x = t$とおくと、

$t^2 - t - 6 = 0$

$(t - 3)(t + 2) = 0$

$t = 3, -2$

$3^x = 3$のとき、$x = 1$

$3^x = -2$となる$x$は存在しない。

したがって、$x = 1$

(2) $3^x - 2 \cdot 3^{2-x} = 7$

$3^{2-x} = 3^2 \cdot 3^{-x} = \frac{9}{3^x}$なので、$3^x = t$とおくと、

$t - 2 \cdot \frac{9}{t} = 7$

$t - \frac{18}{t} = 7$

$t^2 - 18 = 7t$

$t^2 - 7t - 18 = 0$

$(t - 9)(t + 2) = 0$

$t = 9, -2$

$3^x = 9$のとき、$x = 2$

$3^x = -2$となる$x$は存在しない。

したがって、$x = 2$

3. 最終的な答え

(1) $x = 1$

(2) $x = 2$