問題は、以下の立体の体積と表面積を求めることです。 1. 半径4cmの球

1. 問題の内容

問題は、以下の立体の体積と表面積を求めることです。

1. 半径4cmの球

2. 半径5cmの球

3. 半径2cmの球

4. 直線 $l$ を軸として1回回転させてできる立体(半径10cmの球)

5. 直線 $l$ を軸として1回回転させてできる立体(半径5cmの球)

6. 半径3cmの半球

2. 解き方の手順

球の体積 $V$ と表面積 $S$ の公式は以下の通りです。

$V = \frac{4}{3} \pi r^3$

$S = 4 \pi r^2$

半球の体積は球の体積の半分、半球の表面積は球の表面積の半分に底面積 ($\pi r^2$) を加えたものです。

1. 半径4cmの球の場合:

$V = \frac{4}{3} \pi (4)^3 = \frac{4}{3} \pi (64) = \frac{256}{3} \pi$ 立方センチメートル

$S = 4 \pi (4)^2 = 4 \pi (16) = 64 \pi$ 平方センチメートル

2. 半径5cmの球の場合:

$V = \frac{4}{3} \pi (5)^3 = \frac{4}{3} \pi (125) = \frac{500}{3} \pi$ 立方センチメートル

$S = 4 \pi (5)^2 = 4 \pi (25) = 100 \pi$ 平方センチメートル

3. 半径2cmの球の場合:

$V = \frac{4}{3} \pi (2)^3 = \frac{4}{3} \pi (8) = \frac{32}{3} \pi$ 立方センチメートル

$S = 4 \pi (2)^2 = 4 \pi (4) = 16 \pi$ 平方センチメートル

4. 半径10cmの球の場合:

$V = \frac{4}{3} \pi (10)^3 = \frac{4}{3} \pi (1000) = \frac{4000}{3} \pi$ 立方センチメートル

$S = 4 \pi (10)^2 = 4 \pi (100) = 400 \pi$ 平方センチメートル

5. 半径5cmの球の場合:

$V = \frac{4}{3} \pi (5)^3 = \frac{4}{3} \pi (125) = \frac{500}{3} \pi$ 立方センチメートル

$S = 4 \pi (5)^2 = 4 \pi (25) = 100 \pi$ 平方センチメートル

6. 半径3cmの半球の場合:

$V = \frac{1}{2} (\frac{4}{3} \pi (3)^3) = \frac{2}{3} \pi (27) = 18 \pi$ 立方センチメートル

$S = \frac{1}{2} (4 \pi (3)^2) + \pi (3)^2 = 2 \pi (9) + 9 \pi = 18 \pi + 9 \pi = 27 \pi$ 平方センチメートル

3. 最終的な答え

1. 半径4cmの球: 体積 $\frac{256}{3} \pi$ 立方センチメートル、表面積 $64 \pi$ 平方センチメートル

2. 半径5cmの球: 体積 $\frac{500}{3} \pi$ 立方センチメートル、表面積 $100 \pi$ 平方センチメートル

3. 半径2cmの球: 体積 $\frac{32}{3} \pi$ 立方センチメートル、表面積 $16 \pi$ 平方センチメートル

4. 半径10cmの球: 体積 $\frac{4000}{3} \pi$ 立方センチメートル、表面積 $400 \pi$ 平方センチメートル

5. 半径5cmの球: 体積 $\frac{500}{3} \pi$ 立方センチメートル、表面積 $100 \pi$ 平方センチメートル

6. 半径3cmの半球: 体積 $18 \pi$ 立方センチメートル、表面積 $27 \pi$ 平方センチメートル