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不等式 $9^x - 4 \cdot 3^x + 3 < 0$ を解き、$x$の範囲を求める問題です。

代数学不等式指数関数二次不等式指数不等式変数変換
2025/3/17

1. 問題の内容

不等式 9x−4⋅3x+3<09^x - 4 \cdot 3^x + 3 < 0 を解き、xxの範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、3x=t3^x = t と置きます。すると、9x=(3x)2=t29^x = (3^x)^2 = t^2 となります。
与えられた不等式は、
t2−4t+3<0t^2 - 4t + 3 < 0
と書き換えられます。
この二次不等式を解くために、まず二次方程式 t2−4t+3=0t^2 - 4t + 3 = 0 の解を求めます。
(t−1)(t−3)=0(t-1)(t-3) = 0
したがって、t=1,3t=1, 3 が解となります。
二次不等式 t2−4t+3<0t^2 - 4t + 3 < 0 の解は、1<t<31 < t < 3 です。
t=3xt = 3^x でしたので、1<3x<31 < 3^x < 3 となります。
1<3x1 < 3^x を解くと、30<3x3^0 < 3^x より、0<x0 < x となります。
3x<33^x < 3 を解くと、3x<313^x < 3^1 より、x<1x < 1 となります。
したがって、0<x<10 < x < 1 が解となります。

3. 最終的な答え

0<x<10 < x < 1

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