次の不等式の解を求めなさい。 $4^x + 2 \cdot 2^x - 8 > 0$ そして、$□ < x$ の $□$ に入る値を求めなさい。

1. 問題の内容

次の不等式の解を求めなさい。

$4^x + 2 \cdot 2^x - 8 > 0$

そして、$□ < x$ の $□$ に入る値を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、$2^x = t$ と置きます。すると、$4^x = (2^x)^2 = t^2$ となります。

与えられた不等式は、

$t^2 + 2t - 8 > 0$

と書き換えられます。

この2次不等式を解くために、まず2次方程式 $t^2 + 2t - 8 = 0$ を解きます。

因数分解すると、

$(t + 4)(t - 2) = 0$

よって、$t = -4$ または $t = 2$ となります。

したがって、$t^2 + 2t - 8 > 0$ の解は、$t < -4$ または $t > 2$ です。

ここで、$t = 2^x$ なので、$2^x < -4$ または $2^x > 2$ となります。

$2^x$ は常に正であるため、$2^x < -4$ は解を持ちません。

$2^x > 2$ を解くと、$2^x > 2^1$ より、$x > 1$ となります。

したがって、与えられた不等式の解は、$x > 1$ となります。

問題文の形式に合わせて、$1 < x$ と書きます。

3. 最終的な答え

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