次の2つの方程式を解き、小さい順に答えなさい。 (1) $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$ (2) $2^{2x+1} - 5 \cdot 2^{x+2} + 32 = 0$

1. 問題の内容

次の2つの方程式を解き、小さい順に答えなさい。

(1) $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$

(2) $2^{2x+1} - 5 \cdot 2^{x+2} + 32 = 0$

2. 解き方の手順

(1) の解き方：

$2^x = t$ とおくと、$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 = t^2$ となる。

したがって、方程式は $t^2 - 5t + 4 = 0$ となる。

これを因数分解すると、$(t-1)(t-4) = 0$ となる。

よって、$t=1$ または $t=4$

$t = 2^x$ より、$2^x = 1$ または $2^x = 4$

$2^x = 1$ のとき、$x=0$

$2^x = 4$ のとき、$x=2$

したがって、(1) の解は $x=0, 2$

(2) の解き方：

$2^{2x+1} = 2 \cdot 2^{2x} = 2 \cdot (2^x)^2$

$2^{x+2} = 2^2 \cdot 2^x = 4 \cdot 2^x$

$2^x = t$ とおくと、方程式は $2t^2 - 5 \cdot 4t + 32 = 0$ となる。

つまり、$2t^2 - 20t + 32 = 0$

両辺を2で割ると、$t^2 - 10t + 16 = 0$

これを因数分解すると、$(t-2)(t-8) = 0$ となる。

よって、$t=2$ または $t=8$

$t = 2^x$ より、$2^x = 2$ または $2^x = 8$

$2^x = 2$ のとき、$x=1$

$2^x = 8$ のとき、$x=3$

したがって、(2) の解は $x=1, 3$

小さい順に並べると、0, 1, 2, 3 となる。

3. 最終的な答え

(1) の答え：x = 0, x = 2

(2) の答え：x = 1, x = 3