数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その漸化式は $a_{n+1} = a_n - n$ であり、$a_1 = 2$ です。一般項 $a_n$ を求めます。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その漸化式は $a_{n+1} = a_n - n$ であり、$a_1 = 2$ です。一般項 $a_n$ を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式 $a_{n+1} = a_n - n$ を変形すると、

$a_{n+1} - a_n = -n$ となります。

この式を使って、 $n = 1, 2, 3, ..., n-1$ について書き出すと、

$a_2 - a_1 = -1$

$a_3 - a_2 = -2$

$a_4 - a_3 = -3$

...

$a_n - a_{n-1} = -(n-1)$

これらの式をすべて足し合わせると、左辺は $a_n - a_1$ となり、右辺は $-1 - 2 - 3 - ... - (n-1) = -\sum_{k=1}^{n-1} k = -\frac{(n-1)n}{2}$ となります。

したがって、

$a_n - a_1 = -\frac{(n-1)n}{2}$

$a_n = a_1 - \frac{(n-1)n}{2}$

$a_n = 2 - \frac{n^2 - n}{2}$

$a_n = \frac{4 - n^2 + n}{2}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{-n^2 + n + 4}{2}$