与えられた式 $4x^4 - 13x^2 + 9$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $4x^4 - 13x^2 + 9$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 = y$ とおくと、与えられた式は $y$ の二次式として表すことができます。

$4x^4 - 13x^2 + 9 = 4y^2 - 13y + 9$

この二次式を因数分解します。

$4y^2 - 13y + 9$ を因数分解するには、まず $4 \times 9 = 36$ となる2つの数を見つけ、それらの和が $-13$ となるようにします。

これらの数は $-4$ と $-9$ です。

したがって、

$4y^2 - 13y + 9 = 4y^2 - 4y - 9y + 9$

$= 4y(y - 1) - 9(y - 1)$

$= (4y - 9)(y - 1)$

次に、$y = x^2$ を代入します。

$(4y - 9)(y - 1) = (4x^2 - 9)(x^2 - 1)$

ここで、$4x^2 - 9$ は $(2x)^2 - 3^2$ と書けるので、差の二乗の因数分解の公式 $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ を使えます。

また、$x^2 - 1$ は $x^2 - 1^2$ と書けるので、同様に差の二乗の因数分解の公式を使えます。

したがって、

$4x^2 - 9 = (2x - 3)(2x + 3)$

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

したがって、

$(4x^2 - 9)(x^2 - 1) = (2x - 3)(2x + 3)(x - 1)(x + 1)$

3. 最終的な答え

$(2x - 3)(2x + 3)(x - 1)(x + 1)$