$p = \sqrt{25 - 4\sqrt{6}}$ の小数部分を $q$ とするとき、$2p + \frac{8}{q}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$p = \sqrt{25 - 4\sqrt{6}}$ の小数部分を $q$ とするとき、$2p + \frac{8}{q}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$p$ の値を簡単にします。

$25 - 4\sqrt{6}$ を $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$ の形に変形することを考えます。

$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab}$ なので、

$a + b = 25$ および $4\sqrt{6} = 2\sqrt{ab}$ となる $a, b$ を探します。

$4\sqrt{6} = 2\sqrt{ab}$ より $2\sqrt{6} = \sqrt{ab}$ なので、$ab = 24$。

$a + b = 25$ および $ab = 24$ を満たす $a, b$ は $a = 24, b = 1$ または $a = 1, b = 24$。

$\sqrt{25 - 4\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{24} - \sqrt{1})^2} = \sqrt{(2\sqrt{6} - 1)^2} = 2\sqrt{6} - 1$

$2\sqrt{6} = \sqrt{24}$ であり、$\sqrt{16} < \sqrt{24} < \sqrt{25}$ より $4 < 2\sqrt{6} < 5$。

したがって、$3 < 2\sqrt{6} - 1 < 4$。つまり、$p$ の整数部分は 3 です。

$p = 2\sqrt{6} - 1$ の小数部分 $q$ は $q = p - 3 = 2\sqrt{6} - 1 - 3 = 2\sqrt{6} - 4$

$2p + \frac{8}{q}$ を求めます。

$2p = 2(2\sqrt{6} - 1) = 4\sqrt{6} - 2$

$\frac{8}{q} = \frac{8}{2\sqrt{6} - 4} = \frac{8(2\sqrt{6} + 4)}{(2\sqrt{6} - 4)(2\sqrt{6} + 4)} = \frac{8(2\sqrt{6} + 4)}{24 - 16} = \frac{8(2\sqrt{6} + 4)}{8} = 2\sqrt{6} + 4$

$2p + \frac{8}{q} = (4\sqrt{6} - 2) + (2\sqrt{6} + 4) = 6\sqrt{6} + 2$

3. 最終的な答え

$6\sqrt{6} + 2$