全体集合 $U$ は10以下の自然数全体の集合です。$U$ の部分集合 $A = \{3, 4, 7, 8, 9\}$、$B = \{1, 3, 5, 9\}$、$C = \{5, 6, 7, 9\}$ について、以下の集合を求めます。 (1) $A \cap B \cap C$ (2) $A \cap \overline{B \cap C}$

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

全体集合 $U$ は10以下の自然数全体の集合です。$U$ の部分集合 $A = \{3, 4, 7, 8, 9\}$、$B = \{1, 3, 5, 9\}$、$C = \{5, 6, 7, 9\}$ について、以下の集合を求めます。

(1) $A \cap B \cap C$

(2) $A \cap \overline{B \cap C}$

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B \cap C$ を求めます。これは集合 $A$, $B$, $C$ 全てに共通する要素を集めた集合です。

$A = \{3, 4, 7, 8, 9\}$

$B = \{1, 3, 5, 9\}$

$C = \{5, 6, 7, 9\}$

3つの集合に共通する要素は 9 と 7 です。したがって、

$A \cap B \cap C = \{9\}$

(2) $A \cap \overline{B \cap C}$ を求めます。まず、$B \cap C$ を求めます。これは集合 $B$ と $C$ の両方に含まれる要素を集めた集合です。

$B = \{1, 3, 5, 9\}$

$C = \{5, 6, 7, 9\}$

$B$ と $C$ に共通する要素は 5 と 9 です。したがって、

$B \cap C = \{5, 9\}$

次に、$\overline{B \cap C}$ を求めます。これは $B \cap C$ に含まれない、$U$ の要素を集めた集合です。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

$B \cap C = \{5, 9\}$

したがって、

$\overline{B \cap C} = \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 10\}$

最後に、$A \cap \overline{B \cap C}$ を求めます。これは集合 $A$ と $\overline{B \cap C}$ の両方に含まれる要素を集めた集合です。

$A = \{3, 4, 7, 8, 9\}$

$\overline{B \cap C} = \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 10\}$

$A$ と $\overline{B \cap C}$ に共通する要素は 3, 4, 7, 8 です。したがって、

$A \cap \overline{B \cap C} = \{3, 4, 7, 8\}$

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B \cap C = \{9\}$

(2) $A \cap \overline{B \cap C} = \{3, 4, 7, 8\}$