数列 $\{a_n\}$ が $a_1=1$, $a_{n+1} + a_n = n^2 + 2$ で定義されるとき、第 $n$ 項 $a_n$ を推測し、それを数学的帰納法を用いて証明する。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1=1$, $a_{n+1} + a_n = n^2 + 2$ で定義されるとき、第 $n$ 項 $a_n$ を推測し、それを数学的帰納法を用いて証明する。

2. 解き方の手順

まず、$a_n$ のいくつかの項を計算して、規則性を見つけます。

$n=1$ のとき、$a_1 = 1$

$n=2$ のとき、$a_2 + a_1 = 1^2 + 2 = 3$ より $a_2 = 3 - a_1 = 3 - 1 = 2$

$n=3$ のとき、$a_3 + a_2 = 2^2 + 2 = 6$ より $a_3 = 6 - a_2 = 6 - 2 = 4$

$n=4$ のとき、$a_4 + a_3 = 3^2 + 2 = 11$ より $a_4 = 11 - a_3 = 11 - 4 = 7$

$n=5$ のとき、$a_5 + a_4 = 4^2 + 2 = 18$ より $a_5 = 18 - a_4 = 18 - 7 = 11$

数列 $\{a_n\}$ は、$1, 2, 4, 7, 11, \dots$ となります。階差数列を考えると、$1, 2, 3, 4, \dots$ となり、これは $n-1$ に等しいと考えられます。したがって、$a_n$ は2次式で表せると推測できます。

$a_n = An^2 + Bn + C$ と仮定して、初期条件 $a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 4$ を代入すると、

$A + B + C = 1$

$4A + 2B + C = 2$

$9A + 3B + C = 4$

これらの式を解くと、$A = \frac{1}{2}, B = -\frac{1}{2}, C = 1$ となります。

したがって、$a_n = \frac{1}{2}n^2 - \frac{1}{2}n + 1 = \frac{n^2 - n + 2}{2}$ と推測できます。

これを数学的帰納法で証明します。

(i) $n=1$ のとき、$a_1 = \frac{1^2 - 1 + 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$ となり、成立します。

(ii) $n=k$ のとき、$a_k = \frac{k^2 - k + 2}{2}$ が成立すると仮定します。

$n=k+1$ のとき、$a_{k+1} = (k^2 + 2) - a_k = k^2 + 2 - \frac{k^2 - k + 2}{2} = \frac{2k^2 + 4 - k^2 + k - 2}{2} = \frac{k^2 + k + 2}{2}$

一方、$a_{k+1} = \frac{(k+1)^2 - (k+1) + 2}{2} = \frac{k^2 + 2k + 1 - k - 1 + 2}{2} = \frac{k^2 + k + 2}{2}$

したがって、$n=k+1$ のときも成立します。

(i), (ii) より、すべての自然数 $n$ に対して、$a_n = \frac{n^2 - n + 2}{2}$ が成立します。

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{n^2 - n + 2}{2}$