定積分 $\int_{-2}^{2} (a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-2}^{2} (a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、多項式を項ごとに積分します。

$\int (a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0) dx = a_3 \int x^3 dx + a_2 \int x^2 dx + a_1 \int x dx + a_0 \int dx$

それぞれの項の積分は以下のようになります。

$\int x^3 dx = \frac{x^4}{4}$

$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}$

$\int x dx = \frac{x^2}{2}$

$\int dx = x$

したがって、不定積分は以下のようになります。

$a_3 \frac{x^4}{4} + a_2 \frac{x^3}{3} + a_1 \frac{x^2}{2} + a_0 x$

次に、積分範囲 $-2$ から $2$ までの定積分を計算します。

$\int_{-2}^{2} (a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0) dx = \left[ a_3 \frac{x^4}{4} + a_2 \frac{x^3}{3} + a_1 \frac{x^2}{2} + a_0 x \right]_{-2}^{2}$

$= \left( a_3 \frac{2^4}{4} + a_2 \frac{2^3}{3} + a_1 \frac{2^2}{2} + a_0 (2) \right) - \left( a_3 \frac{(-2)^4}{4} + a_2 \frac{(-2)^3}{3} + a_1 \frac{(-2)^2}{2} + a_0 (-2) \right)$

$= \left( a_3 \frac{16}{4} + a_2 \frac{8}{3} + a_1 \frac{4}{2} + 2a_0 \right) - \left( a_3 \frac{16}{4} + a_2 \frac{-8}{3} + a_1 \frac{4}{2} - 2a_0 \right)$

$= \left( 4a_3 + \frac{8}{3}a_2 + 2a_1 + 2a_0 \right) - \left( 4a_3 - \frac{8}{3}a_2 + 2a_1 - 2a_0 \right)$

$= 4a_3 + \frac{8}{3}a_2 + 2a_1 + 2a_0 - 4a_3 + \frac{8}{3}a_2 - 2a_1 + 2a_0$

$= \frac{16}{3} a_2 + 4a_0$

3. 最終的な答え

$\frac{16}{3}a_2 + 4a_0$