定積分 $\int_{-2}^2 (a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0) dx$ から、定積分 $\int_0^2 (a_2x^2 + a_0) dx$ に変形できるのはなぜかという質問です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-2}^2 (a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0) dx$ から、定積分 $\int_0^2 (a_2x^2 + a_0) dx$ に変形できるのはなぜかという質問です。

2. 解き方の手順

まず、定積分を分割します。

$\int_{-2}^2 (a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0) dx = \int_{-2}^2 a_3x^3 dx + \int_{-2}^2 a_2x^2 dx + \int_{-2}^2 a_1x dx + \int_{-2}^2 a_0 dx$

次に、積分区間が $[-a, a]$ であることを利用して、奇関数と偶関数の性質を適用します。

奇関数 $f(x)$ は、$f(-x) = -f(x)$ を満たします。奇関数の積分は $\int_{-a}^a f(x) dx = 0$ となります。

偶関数 $g(x)$ は、$g(-x) = g(x)$ を満たします。偶関数の積分は $\int_{-a}^a g(x) dx = 2\int_0^a g(x) dx$ となります。

$x^3$と$x$は奇関数なので、$a_3x^3$と$a_1x$も奇関数です。よって、

$\int_{-2}^2 a_3x^3 dx = 0$

$\int_{-2}^2 a_1x dx = 0$

$x^2$は偶関数なので、$a_2x^2$は偶関数です。よって、

$\int_{-2}^2 a_2x^2 dx = 2\int_0^2 a_2x^2 dx$

$a_0$は偶関数なので、

$\int_{-2}^2 a_0 dx = 2\int_0^2 a_0 dx$

したがって、

$\int_{-2}^2 (a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0) dx = 0 + 2\int_0^2 a_2x^2 dx + 0 + 2\int_0^2 a_0 dx = 2\int_0^2 (a_2x^2 + a_0) dx$

しかし、問題文にある変形後の式は $\int_0^2 (a_2x^2 + a_0) dx$ なので、正しくは

$\int_{-2}^2 (a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0) dx = 2\int_0^2 (a_2x^2 + a_0) dx$

が正しい変形です。

問題文の変形後の式には係数2が抜けています。

3. 最終的な答え

$\int_{-2}^2 (a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0) dx = 2\int_0^2 (a_2x^2 + a_0) dx$ と変形できます。奇関数の積分区間が対称な範囲での積分が0になる性質と、偶関数の積分区間が対称な範囲での積分は0からaまでの積分の2倍になるという性質を利用しています。