3次以下の任意の多項式 $f(x)$ に対して、積分 $\int_{-2}^2 f(x) dx$ が $af(p) + bf(q)$ の形で表せるような定数 $a, b, p, q$ を求めます。ただし、$p < 0 < q$ という条件があります。

1. 問題の内容

3次以下の任意の多項式 $f(x)$ に対して、積分 $\int_{-2}^2 f(x) dx$ が $af(p) + bf(q)$ の形で表せるような定数 $a, b, p, q$ を求めます。ただし、$p < 0 < q$ という条件があります。

2. 解き方の手順

3次以下の多項式は、例えば $1, x, x^2, x^3$ を基底として表現できます。これらの多項式について等式が成り立つように $a, b, p, q$ を決定していきます。

(i) $f(x) = 1$ の場合:

$\int_{-2}^2 1 dx = [x]_{-2}^2 = 2 - (-2) = 4$

$a \cdot 1 + b \cdot 1 = a + b$

よって、$a + b = 4$

(ii) $f(x) = x$ の場合:

$\int_{-2}^2 x dx = [\frac{x^2}{2}]_{-2}^2 = \frac{4}{2} - \frac{4}{2} = 0$

$a \cdot p + b \cdot q = ap + bq$

よって、$ap + bq = 0$

(iii) $f(x) = x^2$ の場合:

$\int_{-2}^2 x^2 dx = [\frac{x^3}{3}]_{-2}^2 = \frac{8}{3} - (-\frac{8}{3}) = \frac{16}{3}$

$a \cdot p^2 + b \cdot q^2 = ap^2 + bq^2$

よって、$ap^2 + bq^2 = \frac{16}{3}$

(iv) $f(x) = x^3$ の場合:

$\int_{-2}^2 x^3 dx = [\frac{x^4}{4}]_{-2}^2 = \frac{16}{4} - \frac{16}{4} = 0$

$a \cdot p^3 + b \cdot q^3 = ap^3 + bq^3$

よって、$ap^3 + bq^3 = 0$

(ii)より $ap = -bq$、 (iv)より $ap^3 = -bq^3$なので、

$ap(p^2 - q^2) = 0$。 $a \ne 0, p \ne 0$ より $p^2 = q^2$。

$p < 0 < q$ より、$p = -q$。

$a+b = 4$ と $ap + bq = a(-q) + bq = 0$ より $-aq+bq=0$。

$q \ne 0$ より、$a = b$。

よって、$a = b = 2$。

$ap^2 + bq^2 = \frac{16}{3}$ に $a = b = 2$ と $p = -q$ を代入して、

$2p^2 + 2q^2 = 2q^2 + 2q^2 = 4q^2 = \frac{16}{3}$

$q^2 = \frac{4}{3}$ より、$q = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$。

$p = -q = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

$a = 2, b = 2, p = -\frac{2\sqrt{3}}{3}, q = \frac{2\sqrt{3}}{3}$