与えられた各関数について、マクローリン級数を求める問題です。マクローリン級数とは、関数を $x=0$ の周りでテイラー展開したものです。

はい、承知いたしました。問題文にある関数のマクローリン級数を求めます。今回は、(1) $y = x^2 \sin x$、(2) $y = e^{2x}$、(3) $y = \frac{1}{x^2 + 1}$の3つの問題について解答します。

1. 問題の内容

与えられた各関数について、マクローリン級数を求める問題です。マクローリン級数とは、関数を $x=0$ の周りでテイラー展開したものです。

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 \sin x$

$\sin x$ のマクローリン級数は

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

であるため、$x^2 \sin x$ のマクローリン級数は

$x^2 \sin x = x^2 \left( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \right) = x^3 - \frac{x^5}{3!} + \frac{x^7}{5!} - \frac{x^9}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+3}}{(2n+1)!}$

(2) $y = e^{2x}$

$e^x$ のマクローリン級数は

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

であるため、$e^{2x}$ のマクローリン級数は

$e^{2x} = 1 + (2x) + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n x^n}{n!}$

(3) $y = \frac{1}{x^2 + 1}$

$\frac{1}{1-x}$ のマクローリン級数は

$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$

である。$\frac{1}{x^2 + 1}$ は $\frac{1}{1-(-x^2)}$ と書けるので、$x$ を $-x^2$ で置き換えることで

$\frac{1}{x^2 + 1} = \frac{1}{1-(-x^2)} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$

3. 最終的な答え

(1) $y = x^2 \sin x$ のマクローリン級数:

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+3}}{(2n+1)!}$

(2) $y = e^{2x}$ のマクローリン級数:

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n x^n}{n!}$

(3) $y = \frac{1}{x^2 + 1}$ のマクローリン級数:

$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$