曲線 $y = \sqrt{x}$ ($x \ge 0$) を $C$ とし、点 $(0, 1)$ を $P_1$、点 $(1, 1)$ を $T_1$ とおく。 $T_1$ における $C$ の接線が $y$ 軸と交わる点を $P_2$ とおく。$P_2$ を通り $x$ 軸に平行な直線が $C$ と交わる点を $T_2$ とおく。 $T_2$ における $C$ の接線が $y$ 軸と交わる点を $P_3$ とおく。$P_3$ を通り $x$ 軸に平行な直線が $C$ と交わる点を $T_3$ とおく。 以下、この操作を繰り返し、$y$ 軸上に点列 $P_1, P_2, P_3, \dots, P_n, \dots$ をとり、$C$ 上に点列 $T_1, T_2, T_3, \dots, T_n, \dots$ をとる。 (1) $T_2$ と $T_3$ の座標を求めよ。 (2) $P_n$ と $T_n$ の座標を $n$ を用いて表せ。 (3) $\triangle T_n P_n P_{n+1}$ の面積を $S_n$ とするとき、$\sum_{n=1}^{\infty} S_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y = \sqrt{x}$ ($x \ge 0$) を $C$ とし、点 $(0, 1)$ を $P_1$、点 $(1, 1)$ を $T_1$ とおく。

$T_1$ における $C$ の接線が $y$ 軸と交わる点を $P_2$ とおく。$P_2$ を通り $x$ 軸に平行な直線が $C$ と交わる点を $T_2$ とおく。

$T_2$ における $C$ の接線が $y$ 軸と交わる点を $P_3$ とおく。$P_3$ を通り $x$ 軸に平行な直線が $C$ と交わる点を $T_3$ とおく。

以下、この操作を繰り返し、$y$ 軸上に点列 $P_1, P_2, P_3, \dots, P_n, \dots$ をとり、$C$ 上に点列 $T_1, T_2, T_3, \dots, T_n, \dots$ をとる。

(1) $T_2$ と $T_3$ の座標を求めよ。

(2) $P_n$ と $T_n$ の座標を $n$ を用いて表せ。

(3) $\triangle T_n P_n P_{n+1}$ の面積を $S_n$ とするとき、$\sum_{n=1}^{\infty} S_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $y = \sqrt{x}$ より、$y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$。

$T_1 (1, 1)$ における接線は、$y - 1 = \frac{1}{2}(x - 1)$。$y$ 軸との交点 $P_2$ は、$(0, \frac{1}{2})$。

$P_2$ を通り $x$ 軸に平行な直線は、$y = \frac{1}{2}$。$C$ との交点 $T_2$ は、$(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$。

$T_2 (\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$ における接線は、$y - \frac{1}{2} = \frac{1}{2\sqrt{1/4}}(x - \frac{1}{4}) = x - \frac{1}{4}$。$y = x + \frac{1}{4}$

$y$ 軸との交点 $P_3$ は、$(0, \frac{1}{4})$。

$P_3$ を通り $x$ 軸に平行な直線は、$y = \frac{1}{4}$。$C$ との交点 $T_3$ は、$(\frac{1}{16}, \frac{1}{4})$。

(2) $P_n (0, y_n)$、$T_n (x_n, y_n)$ とおく。

$T_n$ における接線は、$y - y_n = \frac{1}{2\sqrt{x_n}}(x - x_n) = \frac{1}{2y_n}(x - x_n)$。

$y$ 軸との交点 $P_{n+1}$ は、$y = y_n - \frac{x_n}{2y_n} = y_n - \frac{y_n^2}{2y_n} = \frac{y_n}{2}$。

$P_{n+1}$ は $(0, y_{n+1})=(0, \frac{y_n}{2})$、$T_{n+1}$ は $y_{n+1} = \sqrt{x_{n+1}}$ であり、また$y_{n+1} = \frac{y_n}{2}$。

$P_1 (0, 1)$ より、$P_n (0, (\frac{1}{2})^{n-1})$。

$T_1 (1, 1)$ より、$T_n ((\frac{1}{4})^{n-1}, (\frac{1}{2})^{n-1})$。

(3) $S_n = \frac{1}{2} \cdot x_n \cdot (y_n - y_{n+1}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{4})^{n-1} \cdot ((\frac{1}{2})^{n-1} - (\frac{1}{2})^n) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{4})^{n-1} \cdot (\frac{1}{2})^n = \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{4})^{n-1} \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} = \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{8})^{n-1}$

$\sum_{n=1}^{\infty} S_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4} (\frac{1}{8})^{n-1} = \frac{1}{4} \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{1}{8})^n = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{8}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\frac{7}{8}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{7} = \frac{2}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $T_2 (\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$、 $T_3 (\frac{1}{16}, \frac{1}{4})$

(2) $P_n (0, (\frac{1}{2})^{n-1})$、 $T_n ((\frac{1}{4})^{n-1}, (\frac{1}{2})^{n-1})$

(3) $\sum_{n=1}^{\infty} S_n = \frac{2}{7}$