与えられた2つの定積分を計算します。積分の中には絶対値記号が含まれています。 (1) $\int_{0}^{3} |x-1| dx$ (2) $\int_{-1}^{5} |x^2 - x - 6| dx$

はい、承知いたしました。問題の解き方を説明します。

1. 問題の内容

与えられた2つの定積分を計算します。積分の中には絶対値記号が含まれています。

(1) $\int_{0}^{3} |x-1| dx$

(2) $\int_{-1}^{5} |x^2 - x - 6| dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{0}^{3} |x-1| dx$ を計算します。

絶対値記号を外すために、$x-1$ の符号が変化する点を探します。$x-1=0$ より $x=1$ です。

積分区間を $[0, 1]$ と $[1, 3]$ に分割します。

$x \in [0, 1]$ のとき、$x-1 \le 0$ なので $|x-1| = -(x-1) = 1-x$

$x \in [1, 3]$ のとき、$x-1 \ge 0$ なので $|x-1| = x-1$

したがって、

$\int_{0}^{3} |x-1| dx = \int_{0}^{1} (1-x) dx + \int_{1}^{3} (x-1) dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int_{0}^{1} (1-x) dx = [x - \frac{x^2}{2}]_{0}^{1} = (1 - \frac{1}{2}) - (0 - 0) = \frac{1}{2}$

$\int_{1}^{3} (x-1) dx = [\frac{x^2}{2} - x]_{1}^{3} = (\frac{9}{2} - 3) - (\frac{1}{2} - 1) = (\frac{3}{2}) - (-\frac{1}{2}) = 2$

したがって、

$\int_{0}^{3} |x-1| dx = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$

(2) $\int_{-1}^{5} |x^2 - x - 6| dx$ を計算します。

絶対値記号を外すために、$x^2 - x - 6$ の符号が変化する点を探します。

$x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2) = 0$ より $x = 3, -2$ です。

積分区間は $[-1, 5]$ ですが、$x = -2$ はこの区間に入っていないので、積分区間を $[-1, 3]$ と $[3, 5]$ に分割します。

$x \in [-1, 3]$ のとき、$x^2 - x - 6 \le 0$ なので $|x^2 - x - 6| = -(x^2 - x - 6) = -x^2 + x + 6$

$x \in [3, 5]$ のとき、$x^2 - x - 6 \ge 0$ なので $|x^2 - x - 6| = x^2 - x - 6$

したがって、

$\int_{-1}^{5} |x^2 - x - 6| dx = \int_{-1}^{3} (-x^2 + x + 6) dx + \int_{3}^{5} (x^2 - x - 6) dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int_{-1}^{3} (-x^2 + x + 6) dx = [-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 6x]_{-1}^{3} = (-9 + \frac{9}{2} + 18) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 6) = 9 + \frac{9}{2} - (\frac{2+3-36}{6}) = \frac{18+9}{2} + \frac{31}{6} = \frac{27}{2} + \frac{31}{6} = \frac{81+31}{6} = \frac{112}{6} = \frac{56}{3}$

$\int_{3}^{5} (x^2 - x - 6) dx = [\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 6x]_{3}^{5} = (\frac{125}{3} - \frac{25}{2} - 30) - (9 - \frac{9}{2} - 18) = \frac{250 - 75 - 180}{6} - \frac{18 - 9 - 36}{2} = \frac{-5}{6} - \frac{-27}{2} = \frac{-5 + 81}{6} = \frac{76}{6} = \frac{38}{3}$

したがって、

$\int_{-1}^{5} |x^2 - x - 6| dx = \frac{56}{3} + \frac{38}{3} = \frac{94}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{2}$

(2) $\frac{94}{3}$