次の微分方程式の解を、初期条件 $t=0$ で $x=x_0$, $\frac{dx}{dt} = 0$ の下で求める。 $\frac{d^2x}{dt^2} = -3x + \cos(\sqrt{3}t)$. 解は $x(t) = (\frac{x_0}{\sqrt{A}} + B)\cos(\sqrt{C}t) + \frac{t}{\sqrt{D}}\sin(\sqrt{E}t)$ の形で与えられる。 $A$から$E$に当てはまる整数を求める。

1. 問題の内容

次の微分方程式の解を、初期条件 $t=0$ で $x=x_0$, $\frac{dx}{dt} = 0$ の下で求める。

$\frac{d^2x}{dt^2} = -3x + \cos(\sqrt{3}t)$.

解は $x(t) = (\frac{x_0}{\sqrt{A}} + B)\cos(\sqrt{C}t) + \frac{t}{\sqrt{D}}\sin(\sqrt{E}t)$ の形で与えられる。

$A$から$E$に当てはまる整数を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式を解く。

$\frac{d^2x}{dt^2} = -3x + \cos(\sqrt{3}t)$

この微分方程式の同次方程式は

$\frac{d^2x}{dt^2} + 3x = 0$

特性方程式は $r^2 + 3 = 0$ より $r = \pm i\sqrt{3}$.

したがって、同次方程式の一般解は $x_h(t) = c_1\cos(\sqrt{3}t) + c_2\sin(\sqrt{3}t)$.

次に、非同次方程式の特殊解を求める。

$x_p(t) = At\sin(\sqrt{3}t) + Bt\cos(\sqrt{3}t)$.

$x_p'(t) = A\sin(\sqrt{3}t) + At\sqrt{3}\cos(\sqrt{3}t) + B\cos(\sqrt{3}t) - Bt\sqrt{3}\sin(\sqrt{3}t)$.

$x_p''(t) = A\sqrt{3}\cos(\sqrt{3}t) + A\sqrt{3}\cos(\sqrt{3}t) - 3At\sin(\sqrt{3}t) - B\sqrt{3}\sin(\sqrt{3}t) - B\sqrt{3}\sin(\sqrt{3}t) - 3Bt\cos(\sqrt{3}t)$.

$x_p''(t) = 2A\sqrt{3}\cos(\sqrt{3}t) - 2B\sqrt{3}\sin(\sqrt{3}t) - 3At\sin(\sqrt{3}t) - 3Bt\cos(\sqrt{3}t)$.

これを元の微分方程式に代入すると、

$2A\sqrt{3}\cos(\sqrt{3}t) - 2B\sqrt{3}\sin(\sqrt{3}t) - 3At\sin(\sqrt{3}t) - 3Bt\cos(\sqrt{3}t) = -3At\sin(\sqrt{3}t) - 3Bt\cos(\sqrt{3}t) + \cos(\sqrt{3}t)$.

$2A\sqrt{3}\cos(\sqrt{3}t) - 2B\sqrt{3}\sin(\sqrt{3}t) = \cos(\sqrt{3}t)$.

したがって、

$2A\sqrt{3} = 1$ より $A = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$.

$-2B\sqrt{3} = 0$ より $B = 0$.

したがって、$x_p(t) = \frac{\sqrt{3}}{6}t\sin(\sqrt{3}t)$.

一般解は $x(t) = c_1\cos(\sqrt{3}t) + c_2\sin(\sqrt{3}t) + \frac{\sqrt{3}}{6}t\sin(\sqrt{3}t)$.

初期条件 $x(0) = x_0$ より $c_1 = x_0$.

$x'(t) = -c_1\sqrt{3}\sin(\sqrt{3}t) + c_2\sqrt{3}\cos(\sqrt{3}t) + \frac{\sqrt{3}}{6}\sin(\sqrt{3}t) + \frac{\sqrt{3}}{6}t\sqrt{3}\cos(\sqrt{3}t)$.

$x'(0) = 0$ より $c_2\sqrt{3} = 0$ なので $c_2 = 0$.

$x(t) = x_0\cos(\sqrt{3}t) + \frac{\sqrt{3}}{6}t\sin(\sqrt{3}t)$.

与えられた形と比較すると、

$x(t) = (\frac{x_0}{\sqrt{A}} + B)\cos(\sqrt{C}t) + \frac{t}{\sqrt{D}}\sin(\sqrt{E}t)$

$A=1$, $B=0$, $C=3$, $D=12$, $E=3$.

3. 最終的な答え

A = 1

B = 0

C = 3

D = 12

E = 3