与えられた関数$y = e^{2x}$、$y = \frac{1}{x^2 + 1}$、$y = x^2e^x$のマクローリン級数をそれぞれ求める。

はい、承知いたしました。画像の数学の問題を解きます。ここでは、(2) $y = e^{2x}$、(3) $y = \frac{1}{x^2 + 1}$、そして(6) $y = x^2e^x$ のマクローリン級数を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数$y = e^{2x}$、$y = \frac{1}{x^2 + 1}$、$y = x^2e^x$のマクローリン級数をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(2) $y = e^{2x}$

$e^x$のマクローリン級数は $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ である。

したがって、$e^{2x}$のマクローリン級数は、$x$を$2x$に置き換えることで得られる。

$e^{2x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n x^n}{n!}$

(3) $y = \frac{1}{x^2 + 1}$

これは、等比級数の公式を利用する。$\frac{1}{1-r} = \sum_{n=0}^{\infty} r^n$ (ただし$|r| < 1$)。

$\frac{1}{x^2 + 1} = \frac{1}{1 - (-x^2)}$ と変形できる。

ここで、$r = -x^2$ とすると、$|x^2| < 1$ すなわち $|x| < 1$ のとき、

$\frac{1}{1 + x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$

(6) $y = x^2e^x$

$e^x$のマクローリン級数は $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ である。

$x^2e^x = x^2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+2}}{n!}$

3. 最終的な答え

(2) $y = e^{2x}$ のマクローリン級数: $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n x^n}{n!}$

(3) $y = \frac{1}{x^2 + 1}$ のマクローリン級数: $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$

(6) $y = x^2e^x$ のマクローリン級数: $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+2}}{n!}$