(1) $x \ge 0$ のとき、$\frac{1}{x+1} \ge \frac{1}{x^2+x+1}$ を示す。 (2) $\log 2 > \int_{0}^{1} \frac{dx}{x^2+x+1}$ を示す。

1. 問題の内容

(1) $x \ge 0$ のとき、$\frac{1}{x+1} \ge \frac{1}{x^2+x+1}$ を示す。

(2) $\log 2 > \int_{0}^{1} \frac{dx}{x^2+x+1}$ を示す。

2. 解き方の手順

(1)

$x \ge 0$ のとき、$x+1 > 0$ かつ $x^2+x+1 > 0$ である。

$\frac{1}{x+1} \ge \frac{1}{x^2+x+1}$ を示すことは、

$x^2+x+1 \ge x+1$ を示すことと同値である。

$x^2+x+1 - (x+1) = x^2 \ge 0$ であるから、$\frac{1}{x+1} \ge \frac{1}{x^2+x+1}$ が成り立つ。

(2)

まず、積分 $\int_{0}^{1} \frac{dx}{x^2+x+1}$ を計算する。

$x^2+x+1 = (x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 [(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})^2 + 1]$

$\int \frac{dx}{x^2+x+1} = \int \frac{dx}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}$

$x+\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \tan{\theta}$ とおくと、

$dx = \frac{\sqrt{3}}{2} \sec^2{\theta} d\theta$

$\int \frac{dx}{x^2+x+1} = \int \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \sec^2{\theta}}{\frac{3}{4} \tan^2{\theta} + \frac{3}{4}} d\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \int \frac{\sec^2{\theta}}{\frac{3}{4} \sec^2{\theta}} d\theta = \frac{2}{\sqrt{3}} \int d\theta = \frac{2}{\sqrt{3}} \theta$

$\tan{\theta} = \frac{2x+1}{\sqrt{3}}$ より、$\theta = \arctan{\frac{2x+1}{\sqrt{3}}}$

$\int \frac{dx}{x^2+x+1} = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan{\frac{2x+1}{\sqrt{3}}}$

$\int_{0}^{1} \frac{dx}{x^2+x+1} = \frac{2}{\sqrt{3}} [\arctan{\frac{3}{\sqrt{3}}} - \arctan{\frac{1}{\sqrt{3}}}] = \frac{2}{\sqrt{3}} [\arctan{\sqrt{3}} - \arctan{\frac{1}{\sqrt{3}}}] = \frac{2}{\sqrt{3}} [\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}] = \frac{2}{\sqrt{3}} \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3\sqrt{3}}$

$\log 2 = 0.6931...$

$\frac{\pi}{3\sqrt{3}} \approx \frac{3.14}{3 \times 1.732} \approx \frac{3.14}{5.196} \approx 0.6043$

$\log 2 > \frac{\pi}{3\sqrt{3}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{x+1} \ge \frac{1}{x^2+x+1}$

(2) $\log 2 > \int_{0}^{1} \frac{dx}{x^2+x+1}$