三角形ABCにおいて、$AB=5$, $BC=9$, $CA=6$であるとき、頂点Aから辺BCに下ろした垂線AHの長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=5$, $BC=9$, $CA=6$であるとき、頂点Aから辺BCに下ろした垂線AHの長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、$\angle B$の余弦を余弦定理を用いて求める。

余弦定理より、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$

これに与えられた値を代入すると、

$6^2 = 5^2 + 9^2 - 2 \cdot 5 \cdot 9 \cdot \cos B$

$36 = 25 + 81 - 90 \cos B$

$90 \cos B = 25 + 81 - 36 = 70$

$\cos B = \frac{70}{90} = \frac{7}{9}$

次に、$\sin B$の値を求める。

$\sin^2 B + \cos^2 B = 1$ より、

$\sin^2 B = 1 - \cos^2 B = 1 - \left(\frac{7}{9}\right)^2 = 1 - \frac{49}{81} = \frac{81-49}{81} = \frac{32}{81}$

$\sin B = \sqrt{\frac{32}{81}} = \frac{\sqrt{32}}{9} = \frac{4\sqrt{2}}{9}$

($\sin B > 0$より正の値をとる)

最後に、$\triangle ABH$に着目し、$AH$の長さを求める。

$\sin B = \frac{AH}{AB}$

$AH = AB \cdot \sin B = 5 \cdot \frac{4\sqrt{2}}{9} = \frac{20\sqrt{2}}{9}$

3. 最終的な答え

$\frac{20\sqrt{2}}{9}$