点A(2, -1)を通り、ベクトル $\vec{d} = (-4, 3)$に平行な直線を媒介変数表示せよ。また、媒介変数を消去した式で表せ。

1. 問題の内容

点A(2, -1)を通り、ベクトル $\vec{d} = (-4, 3)$に平行な直線を媒介変数表示せよ。また、媒介変数を消去した式で表せ。

2. 解き方の手順

まず、直線の媒介変数表示を求めます。

点A$(x_0, y_0)$を通り、ベクトル$\vec{d} = (a, b)$に平行な直線上の任意の点をP$(x, y)$とすると、実数$t$を用いて

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$

と表せます。

この問題では、点A(2, -1)を通り、ベクトル$\vec{d} = (-4, 3)$に平行な直線なので、

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix}$

したがって、

$x = 2 - 4t$

$y = -1 + 3t$

これが直線の媒介変数表示です。

次に、媒介変数$t$を消去します。

$x = 2 - 4t$ より、 $4t = 2 - x$ なので、 $t = \frac{2-x}{4}$

これを $y = -1 + 3t$ に代入すると、

$y = -1 + 3 \left( \frac{2-x}{4} \right)$

$y = -1 + \frac{6 - 3x}{4}$

$4y = -4 + 6 - 3x$

$4y = 2 - 3x$

$3x + 4y = 2$

これが媒介変数を消去した式です。

3. 最終的な答え

媒介変数表示：

$x = 2 - 4t$

$y = -1 + 3t$

媒介変数を消去した式：

$3x + 4y = 2$