円 $x^2 + y^2 = 4$ と以下の2つの円について、それぞれの位置関係を調べる。 (1) $(x+3)^2 + (y-4)^2 = 9$ (2) $(x-3)^2 + (y-3)^2 = 8$

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 4$ と以下の2つの円について、それぞれの位置関係を調べる。

(1) $(x+3)^2 + (y-4)^2 = 9$

(2) $(x-3)^2 + (y-3)^2 = 8$

2. 解き方の手順

2つの円の中心間の距離 $d$ と、2つの円の半径の和 $r_1 + r_2$ および差 $|r_1 - r_2|$ を比較する。

$x^2 + y^2 = 4$ は、中心 $(0, 0)$、半径 $2$ の円である。

(1) $(x+3)^2 + (y-4)^2 = 9$ は、中心 $(-3, 4)$、半径 $3$ の円である。

中心間の距離 $d = \sqrt{(-3 - 0)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

半径の和 $r_1 + r_2 = 2 + 3 = 5$

半径の差 $|r_1 - r_2| = |2 - 3| = 1$

$d = r_1 + r_2$ であるから、2つの円は外接する。

(2) $(x-3)^2 + (y-3)^2 = 8$ は、中心 $(3, 3)$、半径 $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ の円である。

中心間の距離 $d = \sqrt{(3 - 0)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

半径の和 $r_1 + r_2 = 2 + 2\sqrt{2}$

半径の差 $|r_1 - r_2| = |2 - 2\sqrt{2}| = 2\sqrt{2} - 2$

$r_1 + r_2 = 2 + 2\sqrt{2} \approx 2 + 2(1.414) = 2 + 2.828 = 4.828$

$|r_1 - r_2| = 2\sqrt{2} - 2 \approx 2(1.414) - 2 = 2.828 - 2 = 0.828$

$d = 3\sqrt{2} \approx 3(1.414) = 4.242$

$|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ であるから、2つの円は交わる。

3. 最終的な答え

(1) 外接する

(2) 交わる