中心が点$(-3, 4)$である円$C$と、円 $x^2 + y^2 = 1$ が内接するとき、円$C$の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

中心が点$(-3, 4)$である円$C$と、円 $x^2 + y^2 = 1$ が内接するとき、円$C$の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

円 $x^2 + y^2 = 1$ は中心が原点$(0, 0)$、半径が$1$の円です。円$C$の中心が$(-3, 4)$なので、円$C$と円 $x^2 + y^2 = 1$ が内接するとき、2つの円の中心間の距離は、2つの円の半径の差の絶対値に等しくなります。

円$C$の半径を$r$とすると、2つの円の中心間の距離は

$\sqrt{(-3 - 0)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

である。

内接するので、$|r - 1| = 5$ となる。

したがって、$r - 1 = 5$ または $r - 1 = -5$ である。

$r - 1 = 5$ のとき、$r = 6$。

$r - 1 = -5$ のとき、$r = -4$となるが、半径は正である必要があるため、これは不適である。

したがって、$r = 6$。

よって、円$C$の方程式は、

$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 6^2$

$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 36$

3. 最終的な答え

$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 36$