3次以下の任意の多項式 $f(x)$ について、 $\int_{-2}^2 f(x) dx = a f(p) + b f(q)$ が成り立つような定数 $a, b, p, q$ を求める。ただし、$p < 0 < q$ とする。

1. 問題の内容

3次以下の任意の多項式 $f(x)$ について、

$\int_{-2}^2 f(x) dx = a f(p) + b f(q)$

が成り立つような定数 $a, b, p, q$ を求める。ただし、$p < 0 < q$ とする。

2. 解き方の手順

$f(x)$ が3次以下の任意の多項式であることから、$f(x) = 1, x, x^2, x^3$ の場合に上記の積分が成立するように $a, b, p, q$ を定める。

(1) $f(x) = 1$ のとき

$\int_{-2}^2 1 dx = [x]_{-2}^2 = 2 - (-2) = 4$

$a f(p) + b f(q) = a(1) + b(1) = a + b$

よって、$a + b = 4$

(2) $f(x) = x$ のとき

$\int_{-2}^2 x dx = [\frac{x^2}{2}]_{-2}^2 = \frac{2^2}{2} - \frac{(-2)^2}{2} = 2 - 2 = 0$

$a f(p) + b f(q) = a(p) + b(q) = ap + bq$

よって、$ap + bq = 0$

(3) $f(x) = x^2$ のとき

$\int_{-2}^2 x^2 dx = [\frac{x^3}{3}]_{-2}^2 = \frac{2^3}{3} - \frac{(-2)^3}{3} = \frac{8}{3} - (-\frac{8}{3}) = \frac{16}{3}$

$a f(p) + b f(q) = a(p^2) + b(q^2) = ap^2 + bq^2$

よって、$ap^2 + bq^2 = \frac{16}{3}$

(4) $f(x) = x^3$ のとき

$\int_{-2}^2 x^3 dx = [\frac{x^4}{4}]_{-2}^2 = \frac{2^4}{4} - \frac{(-2)^4}{4} = \frac{16}{4} - \frac{16}{4} = 0$

$a f(p) + b f(q) = a(p^3) + b(q^3) = ap^3 + bq^3$

よって、$ap^3 + bq^3 = 0$

$ap + bq = 0$ より $ap = -bq$

$ap^3 + bq^3 = 0$ より $ap^3 = -bq^3$

$\frac{ap^3}{ap} = \frac{-bq^3}{-bq}$ より $p^2 = q^2$

$p < 0 < q$ より $p = -q$

$ap + bq = 0$ より $-aq + bq = 0$, $(b-a)q = 0$

$q \neq 0$ より $a = b$

$a + b = 4$ より $a + a = 4$, $2a = 4$, $a = 2$

よって、$a = b = 2$

$ap^2 + bq^2 = \frac{16}{3}$ より $2p^2 + 2q^2 = \frac{16}{3}$

$p = -q$ より $2q^2 + 2q^2 = \frac{16}{3}$, $4q^2 = \frac{16}{3}$, $q^2 = \frac{4}{3}$

$q > 0$ より $q = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$p = -q$ より $p = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = 2$

$p = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$

$q = \frac{2\sqrt{3}}{3}$