平面上に4点A(3,0), B(-1,2), C(2,a), D(1,5)が与えられている。以下の問いに答える。 (1) 直線ABの方程式を求める。 (2) 直線ABと平行で、点Dを通る直線の方程式を求める。 (3) 直線ABと直線CDが直交するようにaの値を求める。

1. 問題の内容

平面上に4点A(3,0), B(-1,2), C(2,a), D(1,5)が与えられている。以下の問いに答える。

(1) 直線ABの方程式を求める。

(2) 直線ABと平行で、点Dを通る直線の方程式を求める。

(3) 直線ABと直線CDが直交するようにaの値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線ABの方程式を求める。

まず、直線ABの傾きを求める。傾きは、yの変化量/xの変化量で求められる。

$傾き = (2-0)/(-1-3) = 2/(-4) = -1/2$

次に、点A(3,0)を通り傾きが-1/2の直線の方程式を求める。

$y - 0 = (-1/2)(x - 3)$

$y = (-1/2)x + 3/2$

$2y = -x + 3$

$x + 2y - 3 = 0$

(2) 直線ABと平行で、点Dを通る直線の方程式を求める。

直線ABと平行な直線の傾きは、直線ABの傾きと同じである。直線ABの傾きは-1/2であるから、求める直線も傾きは-1/2である。

点D(1,5)を通り傾きが-1/2の直線の方程式を求める。

$y - 5 = (-1/2)(x - 1)$

$y = (-1/2)x + 1/2 + 5$

$y = (-1/2)x + 11/2$

$2y = -x + 11$

$x + 2y - 11 = 0$

(3) 直線ABと直線CDが直交するようにaの値を求める。

直線ABの傾きは-1/2である。直線ABと直線CDが直交するとき、直線CDの傾きは直線ABの傾きの逆数の符号を反転させたものになる。

直線CDの傾きは、2となる。

C(2,a), D(1,5)なので、直線CDの傾きは

$(a-5)/(2-1) = a-5$

これが2に等しくなるので、

$a - 5 = 2$

$a = 7$

3. 最終的な答え

(1) 直線ABの方程式: $x + 2y - 3 = 0$

(2) 直線ABと平行で点Dを通る直線の方程式: $x + 2y - 11 = 0$

(3) aの値: $a = 7$