(1) 2点 $(3, 1)$、 $(-1, 4)$ を通る直線 $l$ のベクトル表示を求める。 (2) 直線 $l$ の法線ベクトルを一つ求める。 (3) 点 $(5, -1)$ を通り、$l$ に垂直な直線 $m$ のベクトル方程式を求める。

1. 問題の内容

(1) 2点 $(3, 1)$、 $(-1, 4)$ を通る直線 $l$ のベクトル表示を求める。

(2) 直線 $l$ の法線ベクトルを一つ求める。

(3) 点 $(5, -1)$ を通り、$l$ に垂直な直線 $m$ のベクトル方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l$ の方向ベクトルを $\vec{d}$ とすると、

$\vec{d} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix}$

よって、直線 $l$ のベクトル表示は、$\vec{p} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix}$ (tは実数)

(2) 直線 $l$ の方向ベクトル $\vec{d} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix}$ に対して、法線ベクトル $\vec{n}$ は $\vec{d} \cdot \vec{n} = 0$ を満たす。

$\vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ は、

$\begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = (-4)(3) + (3)(4) = -12 + 12 = 0$ を満たすので、

直線 $l$ の法線ベクトルの一つである。

(3) 直線 $m$ は直線 $l$ に垂直なので、直線 $l$ の法線ベクトル $\vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ は直線 $m$ の方向ベクトルとなる。

点 $(5, -1)$ を通り、方向ベクトルが $\vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ である直線 $m$ のベクトル方程式は、

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ （sは実数）と表せる。

あるいは、$\vec{r} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ とし、$\vec{a} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix}$、$\vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ とすると、

$(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{d} = 0$ より、

$(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix}) \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix} = 0$

$\begin{pmatrix} x - 5 \\ y + 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix} = 0$

$-4(x - 5) + 3(y + 1) = 0$

$-4x + 20 + 3y + 3 = 0$

$-4x + 3y + 23 = 0$

$4x - 3y - 23 = 0$

あるいは、直線 $m$ の法線ベクトルは、直線 $l$ の方向ベクトル $\vec{d} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix}$ である。

よって、直線 $m$ の方程式は、$\begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot (\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix}) = 0$

$-4(x - 5) + 3(y + 1) = 0$

$-4x + 20 + 3y + 3 = 0$

$-4x + 3y + 23 = 0$

$4x - 3y - 23 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{p} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$

(3) $4x - 3y - 23 = 0$