与えられた極限を計算します。 $$ \lim_{x \to 2} \frac{2x^2 - x - 6}{3x^2 - 2x - 8} $$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$$\lim_{x \to 2} \frac{2x^2 - x - 6}{3x^2 - 2x - 8}$$

2. 解き方の手順

まず、分子と分母に $x=2$ を代入してみます。

分子: $2(2)^2 - 2 - 6 = 8 - 2 - 6 = 0$

分母: $3(2)^2 - 2(2) - 8 = 12 - 4 - 8 = 0$

分子と分母がともに0になるので、不定形 $\frac{0}{0}$ の形です。したがって、分子と分母を因数分解して、共通因子を約分する必要があります。

分子 $2x^2 - x - 6$ を因数分解します。

$2x^2 - x - 6 = (2x+3)(x-2)$

分母 $3x^2 - 2x - 8$ を因数分解します。

$3x^2 - 2x - 8 = (3x+4)(x-2)$

よって、

$$\lim_{x \to 2} \frac{2x^2 - x - 6}{3x^2 - 2x - 8} = \lim_{x \to 2} \frac{(2x+3)(x-2)}{(3x+4)(x-2)}$$

$x \to 2$ のとき、$x \neq 2$ なので、$x-2$ で約分できます。

$$\lim_{x \to 2} \frac{2x+3}{3x+4}$$

$x=2$ を代入します。

$$\frac{2(2)+3}{3(2)+4} = \frac{4+3}{6+4} = \frac{7}{10}$$

3. 最終的な答え

$\frac{7}{10}$