与えられた極限を計算します。 $\lim_{x\to\infty} \frac{3x^2+1}{2x^2+x+1}$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$\lim_{x\to\infty} \frac{3x^2+1}{2x^2+x+1}$

2. 解き方の手順

極限を計算するために、分子と分母を $x^2$ で割ります。

$\lim_{x\to\infty} \frac{3x^2+1}{2x^2+x+1} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{3x^2}{x^2}+\frac{1}{x^2}}{\frac{2x^2}{x^2}+\frac{x}{x^2}+\frac{1}{x^2}} = \lim_{x\to\infty} \frac{3+\frac{1}{x^2}}{2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ と $\frac{1}{x^2} \to 0$ となります。したがって、

$\lim_{x\to\infty} \frac{3+\frac{1}{x^2}}{2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}} = \frac{3+0}{2+0+0} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}$