与えられた極限の値を求める問題です。 $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{2}{x})^x$

1. 問題の内容

与えられた極限の値を求める問題です。

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{2}{x})^x$

2. 解き方の手順

この極限は、$e$の定義に関連しています。$e$の定義は以下の通りです。

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e$

今回の問題では、$\frac{2}{x}$という形をしているので、変数を置き換えることで$e$の定義の形に近づけます。

$u = \frac{x}{2}$ と置換すると、$x = 2u$ となります。

$x \to \infty$ のとき、$u \to \infty$ であることに注意します。

したがって、与えられた極限は次のように書き換えられます。

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{2}{x})^x = \lim_{u \to \infty} (1 + \frac{1}{u})^{2u}$

指数法則を使って、さらに変形します。

$\lim_{u \to \infty} (1 + \frac{1}{u})^{2u} = \lim_{u \to \infty} [(1 + \frac{1}{u})^u]^2$

ここで、$v(u) = (1 + \frac{1}{u})^u$ と置くと、$\lim_{u \to \infty} v(u) = e$ です。

したがって、

$\lim_{u \to \infty} [(1 + \frac{1}{u})^u]^2 = [\lim_{u \to \infty} (1 + \frac{1}{u})^u]^2 = e^2$

3. 最終的な答え

$e^2$