データ 2, 8, 1, 9, 4, a が与えられている。このデータの平均値が 7 となるような $a$ の値を求める。また、平均値と中央値が等しくなるような $a$ の値をすべて求める。

1. 問題の内容

データ 2, 8, 1, 9, 4, a が与えられている。このデータの平均値が 7 となるような $a$ の値を求める。また、平均値と中央値が等しくなるような $a$ の値をすべて求める。

2. 解き方の手順

(1) 平均値が 7 となるような $a$ の値を求める。

データの総和は $2 + 8 + 1 + 9 + 4 + a = 24 + a$。データ数は 6 なので、平均値は $\frac{24+a}{6}$ となる。

平均値が 7 となる条件は、

$\frac{24+a}{6} = 7$

$24 + a = 42$

$a = 42 - 24 = 18$

(2) 平均値と中央値が等しくなるような $a$ の値を求める。

与えられたデータを小さい順に並べると 1, 2, 4, 8, 9 となる。$a$ の値によって中央値が変わるので場合分けして考える。

(i) $a \leq 4$ のとき、データを小さい順に並べると $1, 2, a, 4, 8, 9$ となる。中央値は $\frac{a+4}{2}$ となる。

平均値は $\frac{24+a}{6}$ である。したがって、

$\frac{24+a}{6} = \frac{a+4}{2}$

$24 + a = 3(a+4) = 3a + 12$

$2a = 12$

$a = 6$

これは $a \leq 4$ を満たさないので不適。

(ii) $4 < a < 8$ のとき、データを小さい順に並べると $1, 2, 4, a, 8, 9$ となる。中央値は $\frac{4+a}{2}$ となる。

平均値は $\frac{24+a}{6}$ である。したがって、

$\frac{24+a}{6} = \frac{4+a}{2}$

$24 + a = 3(4+a) = 3a + 12$

$2a = 12$

$a = 6$

これは $4 < a < 8$ を満たすので適する。

(iii) $a \geq 8$ のとき、データを小さい順に並べると $1, 2, 4, 8, a, 9$ または $1, 2, 4, 8, 9, a$ となる。中央値は $\frac{4+8}{2} = 6$ となる。

平均値は $\frac{24+a}{6}$ である。したがって、

$\frac{24+a}{6} = 6$

$24 + a = 36$

$a = 12$

これは $a \geq 8$ を満たすので適する。

したがって、平均値と中央値が等しくなるような $a$ の値は 6 と 12。

3. 最終的な答え

平均値が 7 となるような $a$ の値は 18。

平均値と中央値が等しくなるような $a$ の値は 6 と 12。