次の不等式を解きます。 $\frac{1}{9^x} - \frac{6}{3^x} - 27 > 0$

1. 問題の内容

次の不等式を解きます。

$\frac{1}{9^x} - \frac{6}{3^x} - 27 > 0$

2. 解き方の手順

まず、$3^x = t$ とおきます。すると、$9^x = (3^x)^2 = t^2$ となります。

このとき、不等式は次のようになります。

$\frac{1}{t^2} - \frac{6}{t} - 27 > 0$

両辺に $t^2$ をかけて整理します。$t=3^x>0$ なので、$t^2>0$ であり、不等号の向きは変わりません。

$1 - 6t - 27t^2 > 0$

両辺に-1をかけます。不等号の向きが変わります。

$27t^2 + 6t - 1 < 0$

この2次不等式を解くために、$27t^2 + 6t - 1 = 0$ を解きます。

解の公式より、

$t = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 27 \cdot (-1)}}{2 \cdot 27} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 108}}{54} = \frac{-6 \pm \sqrt{144}}{54} = \frac{-6 \pm 12}{54}$

$t = \frac{-6 + 12}{54} = \frac{6}{54} = \frac{1}{9}$ または $t = \frac{-6 - 12}{54} = \frac{-18}{54} = -\frac{1}{3}$

よって、$27t^2 + 6t - 1 < 0$ の解は $-\frac{1}{3} < t < \frac{1}{9}$ となります。

$t = 3^x$ なので、$-\frac{1}{3} < 3^x < \frac{1}{9}$ となります。

$3^x > -\frac{1}{3}$ は常に成り立ちます。（$3^x$ は常に正の値をとるため）

$3^x < \frac{1}{9}$ を解きます。$\frac{1}{9} = 3^{-2}$ なので、

$3^x < 3^{-2}$

底3は1より大きいので、$x < -2$ となります。

3. 最終的な答え

$x < -2$