媒介変数 $t$ で表された $x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$、 $y = \frac{4t}{1+t^2}$ が $xy$ 平面上でどのような曲線を表すかを求める。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ で表された $x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$、 $y = \frac{4t}{1+t^2}$ が $xy$ 平面上でどのような曲線を表すかを求める。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ の式から $t$ を消去することを試みます。

$x^2 + y^2$ を計算すると、

$$x^2 + y^2 = \left( \frac{1-t^2}{1+t^2} \right)^2 + \left( \frac{4t}{1+t^2} \right)^2 = \frac{(1-t^2)^2 + (4t)^2}{(1+t^2)^2} = \frac{1-2t^2+t^4 + 16t^2}{1+2t^2+t^4} = \frac{1+14t^2+t^4}{1+2t^2+t^4}$$

これはうまくいきません。

別の方法を試します。

$y$ の式を少し変形します。

$y = \frac{4t}{1+t^2}$ より、 $t = \frac{y(1+t^2)}{4}$. これを $x$ の式に代入しても複雑になるので、別の考え方をします。

$x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ を $1+x$ と $1-x$ で表してみます。

$1+x = 1 + \frac{1-t^2}{1+t^2} = \frac{1+t^2+1-t^2}{1+t^2} = \frac{2}{1+t^2}$

$1-x = 1 - \frac{1-t^2}{1+t^2} = \frac{1+t^2-1+t^2}{1+t^2} = \frac{2t^2}{1+t^2}$

$y = \frac{4t}{1+t^2} = 2t \cdot \frac{2}{1+t^2} = 2t(1+x)$

したがって、$t = \frac{y}{2(1+x)}$.

これを $1-x = \frac{2t^2}{1+t^2}$ に代入しても複雑になります。

$x^2 + (\frac{y}{2})^2 = (\frac{1-t^2}{1+t^2})^2 + (\frac{2t}{1+t^2})^2 = \frac{(1-t^2)^2 + 4t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{1 - 2t^2 + t^4 + 4t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{1 + 2t^2 + t^4}{(1+t^2)^2} = \frac{(1+t^2)^2}{(1+t^2)^2} = 1$

したがって、$x^2 + (\frac{y}{2})^2 = 1$ より、$x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$

これは楕円を表しています。ただし、$t$ の値域によって $x$ と $y$ の値の範囲が制限される可能性があります。

$t$ がすべての実数をとるとき、$-1 < x \le 1$ であり、 $-2 < y < 2$ となることがわかります。

特に、$x = -1$ となるのは $t \to \infty$ のときであり、$y \to 0$ となります。

よって、楕円 $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$ から点 $(-1,0)$ を除いたものになります。

3. 最終的な答え

楕円 $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$ から点 $(-1,0)$ を除いたもの。