関数 $f_n(x)$ が $f_0(x) = e^x$、$f_{n+1}(x) = \int_0^x f_n(t) dt$ によって定められている。 (1) $n \geq 1$ に対して、$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} + f_n(x)$ を示す。 (2) $n \geq 1$ かつ $x \geq 0$ に対して、$0 \leq f_n(x) \leq \frac{x^n}{n!}e^x$ を示す。 (3) $\lim_{n \to \infty} f_n(1)$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $f_n(x)$ が $f_0(x) = e^x$、$f_{n+1}(x) = \int_0^x f_n(t) dt$ によって定められている。

(1) $n \geq 1$ に対して、$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} + f_n(x)$ を示す。

(2) $n \geq 1$ かつ $x \geq 0$ に対して、$0 \leq f_n(x) \leq \frac{x^n}{n!}e^x$ を示す。

(3) $\lim_{n \to \infty} f_n(1)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 数学的帰納法で示す。

$n=1$ のとき、$f_1(x) = \int_0^x e^t dt = [e^t]_0^x = e^x - 1$。よって、$e^x = 1 + f_1(x)$ となり成立する。

$n=k$ のとき、$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^{k-1}}{(k-1)!} + f_k(x)$ が成立すると仮定する。

$n=k+1$ のとき、$f_{k+1}(x) = \int_0^x f_k(t) dt$ である。

仮定より、$f_k(t) = e^t - (1 + t + \frac{t^2}{2!} + \dots + \frac{t^{k-1}}{(k-1)!})$。

したがって、$f_{k+1}(x) = \int_0^x \left( e^t - (1 + t + \frac{t^2}{2!} + \dots + \frac{t^{k-1}}{(k-1)!}) \right) dt$

$= [e^t]_0^x - [t + \frac{t^2}{2!} + \frac{t^3}{3!} + \dots + \frac{t^{k}}{k!}]_0^x$

$= e^x - 1 - (x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^k}{k!})$。

よって、$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^{k}}{k!} + f_{k+1}(x)$ となり、$n=k+1$ でも成立する。

(2) 数学的帰納法で示す。$x \geq 0$ に注意する。

$n=1$ のとき、$f_1(x) = e^x - 1$。

$0 \leq x \leq e^x - 1 \leq x e^x$ より、$0 \leq f_1(x) \leq \frac{x}{1!}e^x$ となり成立する。

$n=k$ のとき、$0 \leq f_k(x) \leq \frac{x^k}{k!}e^x$ が成立すると仮定する。

$n=k+1$ のとき、$f_{k+1}(x) = \int_0^x f_k(t) dt$。

$0 \leq f_k(t) \leq \frac{t^k}{k!}e^t$ より、

$0 \leq \int_0^x f_k(t) dt \leq \int_0^x \frac{t^k}{k!}e^t dt$

$0 \leq f_{k+1}(x) \leq \int_0^x \frac{t^k e^t}{k!} dt$

ここで、部分積分を繰り返し行うことで、

$\int_0^x \frac{t^k}{k!}e^t dt = \frac{1}{k!} [t^k e^t]_0^x - \int_0^x \frac{kt^{k-1}}{k!} e^t dt = \frac{x^k e^x}{k!} - \int_0^x \frac{t^{k-1}}{(k-1)!} e^t dt$

$\dots$

$\int_0^x \frac{t^k}{k!}e^t dt = e^x \left( \frac{x^k}{k!} - \frac{x^{k-1}}{(k-1)!} + \frac{x^{k-2}}{(k-2)!} - \dots + (-1)^{k-1} \frac{x}{1!} + (-1)^k \frac{1}{0!} \right) + (-1)^{k+1}$

この方法は使えない。

$f_{k+1}(x) = \int_0^x f_k(t) dt$

$0 \leq f_{k+1}(x) = \int_0^x f_k(t) dt \leq \int_0^x \frac{t^k}{k!}e^t dt \leq \int_0^x \frac{t^k}{k!}e^x dt$

$= \frac{e^x}{k!} \int_0^x t^k dt = \frac{e^x}{k!} [\frac{t^{k+1}}{k+1}]_0^x = \frac{e^x}{k!} \frac{x^{k+1}}{k+1} = \frac{x^{k+1}}{(k+1)!} e^x$

(3) (1)より、$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} + f_n(x)$。

$x=1$ を代入すると、$e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{(n-1)!} + f_n(1)$。

よって、$f_n(1) = e - (1 + 1 + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{(n-1)!})$。

$\lim_{n \to \infty} f_n(1) = \lim_{n \to \infty} \left[ e - \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{k!} \right] = e - \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = e - e = 0$。

3. 最終的な答え

(1) $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} + f_n(x)$

(2) $0 \leq f_n(x) \leq \frac{x^n}{n!}e^x$

(3) $\lim_{n \to \infty} f_n(1) = 0$