関数 $f(x) = \sin 2x + \sqrt{6}(\cos x - \sin x) - \frac{7}{4}$ について、以下の問いに答える。ただし、$0 \le x \le 2\pi$ とする。 (1) $t = \cos x - \sin x$ とおく。$t$ のとりうる値の範囲を求め、$f(x)$ を $t$ の式で表せ。 (2) $f(x)$ の最大値と最小値、およびそれらを与える $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sin 2x + \sqrt{6}(\cos x - \sin x) - \frac{7}{4}$ について、以下の問いに答える。ただし、$0 \le x \le 2\pi$ とする。

(1) $t = \cos x - \sin x$ とおく。$t$ のとりうる値の範囲を求め、$f(x)$ を $t$ の式で表せ。

(2) $f(x)$ の最大値と最小値、およびそれらを与える $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $t = \cos x - \sin x$ を変形する。

$t = \sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x) = \sqrt{2} (\cos \frac{\pi}{4} \cos x - \sin \frac{\pi}{4} \sin x) = \sqrt{2} \cos (x + \frac{\pi}{4})$

$0 \le x \le 2\pi$ より、$\frac{\pi}{4} \le x + \frac{\pi}{4} \le 2\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4}$

したがって、$-1 \le \cos (x + \frac{\pi}{4}) \le 1$

よって、$t$ のとりうる値の範囲は $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$。

次に、$f(x)$ を $t$ で表す。

$t^2 = (\cos x - \sin x)^2 = \cos^2 x - 2 \sin x \cos x + \sin^2 x = 1 - 2 \sin x \cos x = 1 - \sin 2x$

したがって、$\sin 2x = 1 - t^2$

$f(x) = \sin 2x + \sqrt{6} (\cos x - \sin x) - \frac{7}{4} = 1 - t^2 + \sqrt{6} t - \frac{7}{4} = -t^2 + \sqrt{6} t - \frac{3}{4}$

(2) $f(x) = -t^2 + \sqrt{6} t - \frac{3}{4} = -(t - \frac{\sqrt{6}}{2})^2 + \frac{6}{4} - \frac{3}{4} = -(t - \frac{\sqrt{6}}{2})^2 + \frac{3}{4}$

$t = \frac{\sqrt{6}}{2} = \sqrt{\frac{6}{4}} = \sqrt{\frac{3}{2}} > \sqrt{1} = 1$ なので、$-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$ の範囲で、$t = \sqrt{2}$ のとき最小値をとる。

$t = \sqrt{2}$ のとき、$f(x) = -(\sqrt{2})^2 + \sqrt{6}\sqrt{2} - \frac{3}{4} = -2 + \sqrt{12} - \frac{3}{4} = -2 + 2\sqrt{3} - \frac{3}{4} = \frac{-8 - 3}{4} + 2\sqrt{3} = -\frac{11}{4} + 2\sqrt{3}$

$t = \frac{\sqrt{6}}{2}$ のとき、最大値 $\frac{3}{4}$ をとる。

$t = \cos x - \sin x = \sqrt{2} \cos(x + \frac{\pi}{4})$

$t = \sqrt{2}$ のとき、$\sqrt{2} \cos(x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$ より、$\cos(x + \frac{\pi}{4}) = 1$

$x + \frac{\pi}{4} = 0, 2\pi$

$x = -\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

$0 \le x \le 2\pi$ より、$x = \frac{7\pi}{4}$

$t = \frac{\sqrt{6}}{2}$ のとき、$\sqrt{2} \cos (x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{6}}{2}$ より、$\cos (x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$

$x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi - 3\pi}{12} = -\frac{\pi}{12}$

$x = \frac{11\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{22\pi - 3\pi}{12} = \frac{19\pi}{12}$

$x = \frac{19\pi}{12}$

$x + \frac{\pi}{4} = \frac{13\pi}{6}$

$x = \frac{13\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{26\pi - 3\pi}{12} = \frac{23\pi}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $t$ のとりうる値の範囲は $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$。

$f(x) = -t^2 + \sqrt{6}t - \frac{3}{4}$

(2) $f(x)$ の最大値は $\frac{3}{4}$ で、$x = \frac{19\pi}{12}, \frac{23\pi}{12}$ のとき。

$f(x)$ の最小値は $-\frac{11}{4} + 2\sqrt{3}$ で、$x = \frac{7\pi}{4}$ のとき。