媒介変数 $t$ を用いて、$x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$, $y = \frac{4t}{1+t^2}$ で表される曲線が、$xy$ 平面上でどのような曲線を表すかを求める問題です。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ を用いて、$x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$, $y = \frac{4t}{1+t^2}$ で表される曲線が、$xy$ 平面上でどのような曲線を表すかを求める問題です。

2. 解き方の手順

$x$ と $y$ の関係式を導き出すことを目指します。

まず、$x^2 + y^2$ を計算してみます。

$x^2 = (\frac{1-t^2}{1+t^2})^2 = \frac{1-2t^2+t^4}{(1+t^2)^2}$

$y^2 = (\frac{4t}{1+t^2})^2 = \frac{16t^2}{(1+t^2)^2}$

したがって、

$x^2 + y^2 = \frac{1-2t^2+t^4 + 16t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{1+14t^2+t^4}{(1+t^2)^2}$

このままではうまくいきません。別の方法を試みます。

$x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ と $y = \frac{4t}{1+t^2}$ から、$1+t^2$ を消去することを考えます。しかし、$x$と$y$の関係を直接見出すのは難しいので、以下のように考えます。

$x(1+t^2) = 1-t^2$ より $x+xt^2=1-t^2$、つまり $t^2(x+1)=1-x$ です。

$y(1+t^2) = 4t$ より $1+t^2 = \frac{4t}{y}$です。

$x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ に $1+t^2 = \frac{4t}{y}$ を代入すると、$x = \frac{1-t^2}{\frac{4t}{y}} = \frac{y(1-t^2)}{4t}$。よって $4xt = y(1-t^2)$

一方、$1 = x + t^2(1+x)$ であるから、$t^2 = \frac{1-x}{1+x}$。したがって、$t = \pm \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$。

しかし、これではうまくいかないので、$x^2+y^2$から$t$を消去する方法に戻ります。

$x^2 = (\frac{1-t^2}{1+t^2})^2$

$y^2 = (\frac{4t}{1+t^2})^2$

円の方程式を疑います。

$x^2 + y^2 = \frac{(1-t^2)^2 + (4t)^2}{(1+t^2)^2} = \frac{1 - 2t^2 + t^4 + 16t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{1 + 14t^2 + t^4}{(1+t^2)^2}$

まだ円の方程式ではない。

別のアプローチを試します。$t = \tan{\frac{\theta}{2}}$ とおくと、倍角の公式より

$x = \frac{1 - \tan^2{\frac{\theta}{2}}}{1 + \tan^2{\frac{\theta}{2}}} = \cos{\theta}$

$y = \frac{4 \tan{\frac{\theta}{2}}}{1 + \tan^2{\frac{\theta}{2}}} = 4 \tan{\frac{\theta}{2}} \cos^2{\frac{\theta}{2}} = 4 \sin{\frac{\theta}{2}} \cos{\frac{\theta}{2}} = 2 \sin{\theta}$

したがって、 $x = \cos \theta$ かつ $y = 2 \sin \theta$。

よって、$\frac{y}{2} = \sin \theta$。

$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ より、$x^2 + (\frac{y}{2})^2 = 1$。

すなわち、$x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$。

3. 最終的な答え

楕円: $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$