与えられた対数方程式 $\log_3{x} + \log_9{(4-x)} = 1$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた対数方程式 $\log_3{x} + \log_9{(4-x)} = 1$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、対数の底を揃える必要があります。$\log_9{(4-x)}$ の底を3に変換します。底の変換公式 $\log_a{b} = \frac{\log_c{b}}{\log_c{a}}$ を用いると、

$\log_9{(4-x)} = \frac{\log_3{(4-x)}}{\log_3{9}} = \frac{\log_3{(4-x)}}{2}$

となります。

したがって、与えられた方程式は

$\log_3{x} + \frac{\log_3{(4-x)}}{2} = 1$

となります。両辺に2を掛けると、

$2\log_3{x} + \log_3{(4-x)} = 2$

となります。

対数の性質 $a\log_b{c} = \log_b{c^a}$ を用いると、

$\log_3{x^2} + \log_3{(4-x)} = 2$

となります。

対数の性質 $\log_a{b} + \log_a{c} = \log_a{bc}$ を用いると、

$\log_3{x^2(4-x)} = 2$

となります。

したがって、

$x^2(4-x) = 3^2$

$4x^2 - x^3 = 9$

$x^3 - 4x^2 + 9 = 0$

この三次方程式を解きます。

$x = -1$ を代入すると $(-1)^3 - 4(-1)^2 + 9 = -1 - 4 + 9 = 4 \ne 0$

$x=1$を代入すると $1 - 4 + 9 = 6 \ne 0$

$x=3$を代入すると $27 - 36 + 9 = 0$

したがって、$x=3$は解の一つです。因数定理より、$x^3 - 4x^2 + 9$は$x-3$を因数に持ちます。

$(x-3)(x^2-x-3) = 0$

$x^2 - x - 3 = 0$ の解は、解の公式より

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-3)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$

$x$は対数の中にあるため、$x > 0$ かつ $4-x > 0$、すなわち $0 < x < 4$ を満たす必要があります。

$x = 3$ はこの条件を満たします。

$x = \frac{1 + \sqrt{13}}{2} \approx \frac{1 + 3.605}{2} \approx 2.303$ これは$0 < x < 4$を満たします。

$x = \frac{1 - \sqrt{13}}{2} \approx \frac{1 - 3.605}{2} \approx -1.303$ これは$0 < x < 4$を満たしません。

したがって、 $x=3$ と $x = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$ が解の候補です。

$x=3$を元の式に代入すると $\log_3{3} + \log_9{(4-3)} = 1 + \log_9{1} = 1 + 0 = 1$となり成り立ちます。

$x = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$ を元の式に代入すると$\log_3{(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})} + \log_9{(4-\frac{1 + \sqrt{13}}{2})} = \log_3{(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})} + \log_9{(\frac{7 - \sqrt{13}}{2})}$となります。

3. 最終的な答え

$x = 3, \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$