$(\frac{1}{2})^{50}$ を小数で表すとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める問題です。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$ とします。

1. 問題の内容

$(\frac{1}{2})^{50}$ を小数で表すとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める問題です。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$ とします。

2. 解き方の手順

$x = (\frac{1}{2})^{50}$ とおきます。この両辺の常用対数をとります。

$\log_{10}x = \log_{10}(\frac{1}{2})^{50} = 50\log_{10}(\frac{1}{2}) = 50\log_{10}(2^{-1}) = -50\log_{10}2$

$\log_{10}2 = 0.3010$ を代入すると、

$\log_{10}x = -50 \times 0.3010 = -15.05$

$\log_{10}x = -15.05$ は、$\log_{10}x = -16 + 0.95$ と書き換えることができます。

つまり、$x = 10^{-15.05} = 10^{-16+0.95} = 10^{0.95} \times 10^{-16}$ となります。

$10^{0.95}$ は1より大きい数なので、$x$は小数第16位に初めて0でない数字が現れることがわかります。

3. 最終的な答え

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