以下の4つの関数がそれぞれ奇関数、偶関数、奇関数でも偶関数でもない関数のどれであるか答えます。 1. $y = -2x + 1$ 2. $y = 2x^2 + x$ 3. $y = 2\sin{\theta}$ 4. $y = 3\cos{\theta}$

## 問題5

1. 問題の内容

以下の4つの関数がそれぞれ奇関数、偶関数、奇関数でも偶関数でもない関数のどれであるか答えます。

1. $y = -2x + 1$

2. $y = 2x^2 + x$

3. $y = 2\sin{\theta}$

4. $y = 3\cos{\theta}$

2. 解き方の手順

関数の偶奇性を判断する方法は以下の通りです。

* **偶関数**: $f(-x) = f(x)$ を満たす関数。$y$軸に関して対称。

* **奇関数**: $f(-x) = -f(x)$ を満たす関数。原点に関して対称。

* 上記いずれも満たさない場合、奇関数でも偶関数でもない。

各関数について確認します。

1. $y = -2x + 1$

$f(x) = -2x + 1$

$f(-x) = -2(-x) + 1 = 2x + 1$

$-f(x) = -(-2x + 1) = 2x - 1$

$f(-x) \neq f(x)$ かつ $f(-x) \neq -f(x)$ より、奇関数でも偶関数でもない。

2. $y = 2x^2 + x$

$f(x) = 2x^2 + x$

$f(-x) = 2(-x)^2 + (-x) = 2x^2 - x$

$-f(x) = -(2x^2 + x) = -2x^2 - x$

$f(-x) \neq f(x)$ かつ $f(-x) \neq -f(x)$ より、奇関数でも偶関数でもない。

3. $y = 2\sin{\theta}$

$f(\theta) = 2\sin{\theta}$

$f(-\theta) = 2\sin{(-\theta)} = -2\sin{\theta}$ ($\sin$は奇関数)

$-f(\theta) = -2\sin{\theta}$

$f(-\theta) = -f(\theta)$ より、奇関数。

4. $y = 3\cos{\theta}$

$f(\theta) = 3\cos{\theta}$

$f(-\theta) = 3\cos{(-\theta)} = 3\cos{\theta}$ ($\cos$は偶関数)

$-f(\theta) = -3\cos{\theta}$

$f(-\theta) = f(\theta)$ より、偶関数。

3. 最終的な答え

4. 奇関数でも偶関数でもない

5. 奇関数でも偶関数でもない

6. 奇関数

7. 偶関数

## 問題6

1. 問題の内容

$y = \cos{\theta}$ のグラフが与えられています。グラフ中のA, B, C, D, Eの目盛りを求めます。

2. 解き方の手順

グラフから以下の情報が読み取れます。

* A: $y = \cos{\theta}$ の最小値。

* B: $y = \cos{\theta}$ が0となる$\theta$の値の一つ。

* C: グラフが極大値を取る$\theta$の値。

* D: $y = \cos{\theta}$ が0となる$\theta$の値の一つ。

* E: $y = \cos{\theta}$ のグラフ上の点の$\theta$座標。

$\cos{\theta}$のグラフの基本形から、

* 最小値は-1。

* $\cos{\theta} = 0$ となるのは$\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$。

* 最大値となるのは$\theta = 0, 2\pi$。

グラフの横軸のスケールから、各値を求めます。

* A: $\cos{\theta}$の最小値なので、A = -1。

* B: グラフから読み取ると、$\frac{\pi}{2}$より小さい正の値であるので、B = 0。

* C: グラフから読み取ると、$\frac{3\pi}{2}$より大きい値であるので、C=2π。

* D: $\cos \theta=0$となるθなのでD=0。

* E: 問題文より$E=\frac{2}{3}\pi$

3. 最終的な答え

A: -1

B: 0

C: $2\pi$

D: 0

E: $\frac{2}{3}\pi$

## 問題7

1. 問題の内容

$\cos{75^\circ}$の値を求めます。

2. 解き方の手順

$\cos{75^\circ}$を求めるために、加法定理を利用します。$75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$ なので、

$\cos{(A + B)} = \cos{A}\cos{B} - \sin{A}\sin{B}$

ここで、$A = 45^\circ$、$B = 30^\circ$ とすると、

$\cos{75^\circ} = \cos{(45^\circ + 30^\circ)} = \cos{45^\circ}\cos{30^\circ} - \sin{45^\circ}\sin{30^\circ}$

$\cos{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$、$\cos{30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$、$\sin{30^\circ} = \frac{1}{2}$ を代入すると、

$\cos{75^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

## 問題8

1. 問題の内容

$-\sqrt{3}\sin{\theta} + \cos{\theta}$ を $r\sin{(\theta + \alpha)}$ の形に変形します。ただし、$r > 0$, $-\pi < \alpha < \pi$ とします。

2. 解き方の手順

三角関数の合成を行います。

$a\sin{\theta} + b\cos{\theta} = r\sin{(\theta + \alpha)}$

ここで、$r = \sqrt{a^2 + b^2}$、$\cos{\alpha} = \frac{a}{r}$、$\sin{\alpha} = \frac{b}{r}$

この問題では、$a = -\sqrt{3}$、$b = 1$ なので、

$r = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

$\cos{\alpha} = \frac{-\sqrt{3}}{2}$、$\sin{\alpha} = \frac{1}{2}$

これらの条件を満たす$\alpha$は、$\alpha = \frac{5\pi}{6}$ もしくは$\alpha = -\frac{7\pi}{6}$ですが、$-\pi < \alpha < \pi$という条件より、$\alpha = \frac{5\pi}{6}$となります。

したがって、

$-\sqrt{3}\sin{\theta} + \cos{\theta} = 2\sin{(\theta + \frac{5\pi}{6})}$

3. 最終的な答え

$2\sin{(\theta + \frac{5\pi}{6})}$