一辺が4cmの正方形ABCDがあり、点Pが点Bから辺BC、CD上を毎秒1cmで点Dまで動く。 (1) 点Pが点Bを出発してから2秒後の三角形DBPの面積を求める。 (2) 点Pが点Bを出発してからx秒後の三角形DBPの面積をy平方cmとする。ただし、点Pが点B、Dにあるときはy=0とする。 (1) $0 \le x \le 4$のとき、$y$を$x$の式で表す。 (2) $0 \le x \le 8$のとき、$x$と$y$の関係を表すグラフを描く。

1. 問題の内容

一辺が4cmの正方形ABCDがあり、点Pが点Bから辺BC、CD上を毎秒1cmで点Dまで動く。

(1) 点Pが点Bを出発してから2秒後の三角形DBPの面積を求める。

(2) 点Pが点Bを出発してからx秒後の三角形DBPの面積をy平方cmとする。ただし、点Pが点B、Dにあるときはy=0とする。

(1) $0 \le x \le 4$のとき、$y$を$x$の式で表す。

(2) $0 \le x \le 8$のとき、$x$と$y$の関係を表すグラフを描く。

2. 解き方の手順

(1) 2秒後の点Pは、点Bから2cm進んだ位置にある。三角形DBPの底辺をBPとすると、高さは正方形の一辺の長さに等しい4cmとなる。三角形の面積は、$y = \frac{1}{2} \times \text{底辺} \times \text{高さ}$で計算される。

(2)

(1) $0 \le x \le 4$のとき

点Pは辺BC上にある。BPの長さは$x$ cmなので、三角形DBPの面積$y$は、

$y = \frac{1}{2} \times x \times 4 = 2x$。

(2) $0 \le x \le 8$のとき

- $0 \le x \le 4$のとき：点Pは辺BC上にある。この時の関係式は(1)で求めた通り、$y = 2x$。

- $4 \le x \le 8$のとき：点Pは辺CD上にある。DP = $8 - x$となる。三角形DBPの底辺をDPとすると、高さは正方形の一辺の長さに等しい4cmとなる。三角形DBPの面積は、$y = \frac{1}{2} \times (8-x) \times 4 = 16 - 2x$。

グラフは、$0 \le x \le 4$で$y=2x$のグラフ（原点を通る直線）を描き、$4 \le x \le 8$で$y=16-2x$のグラフ（傾きが負の直線）を描く。$x=4$のとき、$y=2 \times 4 = 8$であり、$y = 16-2 \times 4= 8$である。$x=8$のとき、$y=16-2 \times 8=0$である。

3. 最終的な答え

(1) 4平方cm

(2)

(1) $y = 2x$

(2) グラフは以下のようになります。

- $0 \le x \le 4$で、点(0,0)から点(4,8)までを結ぶ直線。

- $4 \le x \le 8$で、点(4,8)から点(8,0)までを結ぶ直線。