半径 $r$ の円の中心を $O$ とする。円周上に反時計回りに点 $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5, P_6$ があり、$P_1P_2=P_2P_3=P_3P_4=4$、$P_4P_5=P_5P_6=P_6P_1=7$ である。 (1) $\angle P_3OP_5$ の大きさを求めよ。 (2) 円の半径 $r$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

半径 $r$ の円の中心を $O$ とする。円周上に反時計回りに点 $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5, P_6$ があり、$P_1P_2=P_2P_3=P_3P_4=4$、$P_4P_5=P_5P_6=P_6P_1=7$ である。

(1) $\angle P_3OP_5$ の大きさを求めよ。

(2) 円の半径 $r$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円周角の定理より、$\angle P_3OP_5$ の大きさは弧 $P_3P_5$ に対する中心角である。

円周全体は $P_1P_2+P_2P_3+P_3P_4+P_4P_5+P_5P_6+P_6P_1 = 4+4+4+7+7+7 = 33$ である。

弧 $P_3P_5$ の長さは $P_3P_4+P_4P_5 = 4+7 = 11$ である。

したがって、$\angle P_3OP_5$ は円の中心角の $\frac{11}{33} = \frac{1}{3}$ である。

よって、$\angle P_3OP_5 = \frac{1}{3} \times 360^\circ = 120^\circ$ である。

(2) $\triangle P_3OP_4$ について、余弦定理より

$P_3P_4^2 = OP_3^2 + OP_4^2 - 2 \times OP_3 \times OP_4 \times \cos(\angle P_3OP_4)$

$4^2 = r^2 + r^2 - 2r^2 \cos(\angle P_3OP_4)$

$\angle P_3OP_4 = \frac{4}{33} \times 360^\circ = \frac{480}{11}^\circ$ なので、

$16 = 2r^2(1-\cos(\frac{480}{11}^\circ))$

$\triangle P_4OP_5$ について、余弦定理より

$P_4P_5^2 = OP_4^2 + OP_5^2 - 2 \times OP_4 \times OP_5 \times \cos(\angle P_4OP_5)$

$7^2 = r^2 + r^2 - 2r^2 \cos(\angle P_4OP_5)$

$\angle P_4OP_5 = \frac{7}{33} \times 360^\circ = \frac{840}{11}^\circ$ なので、

$49 = 2r^2(1-\cos(\frac{840}{11}^\circ))$

よって

$r^2 = \frac{8}{1-\cos(\frac{480}{11}^\circ)} = \frac{49/2}{1-\cos(\frac{840}{11}^\circ)}$

$16(1-\cos(\frac{840}{11}^\circ)) = 49(1-\cos(\frac{480}{11}^\circ))$

$16 - 16\cos(\frac{840}{11}^\circ) = 49 - 49\cos(\frac{480}{11}^\circ)$

$49\cos(\frac{480}{11}^\circ) - 16\cos(\frac{840}{11}^\circ) = 33$

$\angle P_1OP_2 = \angle P_2OP_3 = \angle P_3OP_4 = \alpha = \frac{4}{33} \times 360$

$\angle P_4OP_5 = \angle P_5OP_6 = \angle P_6OP_1 = \beta = \frac{7}{33} \times 360$

$3\alpha + 3\beta = 360$

$\alpha + \beta = 120$

$\beta = 120 - \alpha$

余弦定理より、$4^2 = 2r^2(1-\cos\alpha)$、$7^2 = 2r^2(1-\cos\beta)$

$16 = 2r^2(1-\cos\alpha)$、$49 = 2r^2(1-\cos(120-\alpha))$

$16 = 2r^2(1-\cos\alpha)$、$49 = 2r^2(1-\cos 120 \cos \alpha - \sin 120 \sin \alpha)$

$16 = 2r^2(1-\cos\alpha)$、$49 = 2r^2(1+\frac{1}{2}\cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha)$

$\frac{8}{r^2} = 1-\cos\alpha$、$\frac{49}{2r^2} = 1+\frac{1}{2}\cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha$

$\cos \alpha = 1 - \frac{8}{r^2}$

$\frac{49}{2r^2} = 1 + \frac{1}{2}(1 - \frac{8}{r^2}) - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha$

$\frac{49}{2r^2} = \frac{3}{2} - \frac{4}{r^2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha$

$\frac{49}{2r^2} - \frac{3}{2} + \frac{4}{r^2} = - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha$

$\frac{49+8-3r^2}{2r^2} = - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha$

$\frac{57-3r^2}{r^2} = -\sqrt{3}\sin \alpha$

$\sin \alpha = \sqrt{1-\cos^2 \alpha} = \sqrt{1-(1-\frac{8}{r^2})^2} = \sqrt{1-(1-\frac{16}{r^2} + \frac{64}{r^4})} = \sqrt{\frac{16}{r^2} - \frac{64}{r^4}} = \frac{4}{r^2}\sqrt{r^2 - 4}$

$\frac{57-3r^2}{r^2} = - \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{4}{r^2} \sqrt{r^2-4}$

$57-3r^2 = -2\sqrt{3}\sqrt{r^2-4}$

$(57-3r^2)^2 = 12(r^2-4)$

$3249 - 342r^2 + 9r^4 = 12r^2 - 48$

$9r^4 - 354r^2 + 3297 = 0$

$3r^4 - 118r^2 + 1099 = 0$

$r^2 = \frac{118 \pm \sqrt{118^2 - 4(3)(1099)}}{6} = \frac{118 \pm \sqrt{13924-13188}}{6} = \frac{118 \pm \sqrt{736}}{6} = \frac{118 \pm 4\sqrt{46}}{6} = \frac{59 \pm 2\sqrt{46}}{3}$

$r^2 = \frac{59 \pm 2\sqrt{46}}{3}$

$r = \sqrt{\frac{59 \pm 2\sqrt{46}}{3}}$

3. 最終的な答え

(1) $\angle P_3OP_5 = 120^\circ$

(2) $r = \sqrt{\frac{59 + 2\sqrt{46}}{3}}$