点 $(3, -4, 2)$ を通り、ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ に平行な直線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

点 $(3, -4, 2)$ を通り、ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ に平行な直線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

直線上のある点を $\vec{p} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ とします。

与えられた点 $\vec{p_0} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}$ を通り、方向ベクトルが $\vec{a} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ である直線上の任意の点は、パラメータ $t$ を用いて以下のように表すことができます。

$\vec{p} = \vec{p_0} + t\vec{a}$

これは、成分ごとに書くと、

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$

したがって、

$x = 3 - 2t$

$y = -4 + t$

$z = 2 + 4t$

これらの方程式からパラメータ $t$ を消去します。

$t = y + 4$ を $x$ と $z$ の式に代入します。

$x = 3 - 2(y+4) = 3 - 2y - 8 = -2y - 5$

$z = 2 + 4(y+4) = 2 + 4y + 16 = 4y + 18$

したがって、

$x + 2y = -5$

$z - 4y = 18$

あるいは、

$\frac{x-3}{-2} = \frac{y+4}{1} = \frac{z-2}{4}$

3. 最終的な答え

直線の方程式は以下のいずれかの形で表すことができます。

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$

または、

$\frac{x-3}{-2} = \frac{y+4}{1} = \frac{z-2}{4}$