三角形ABCがあり、$AB=12$, $BC=7$, $CA=9$である。辺BC上に点Dを$BD=4$となるように取る。点Aを通り線分ADに垂直な直線と、辺BCの延長との交点をEとする。このとき、$BE$の長さと、三角形ACDの面積が三角形ACEの面積の何倍であるかを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、$AB=12$, $BC=7$, $CA=9$である。辺BC上に点Dを$BD=4$となるように取る。点Aを通り線分ADに垂直な直線と、辺BCの延長との交点をEとする。このとき、$BE$の長さと、三角形ACDの面積が三角形ACEの面積の何倍であるかを求める。

2. 解き方の手順

まず、$CD = BC - BD = 7 - 4 = 3$ である。

線分AEは線分ADに垂直なので、$\angle EAD = 90^\circ$。

$\angle AED = \angle DAC$ となる。これは、$\angle ADE$を共通としてもつ直角三角形ADEと、$\angle AED = \angle DAC$となる三角形があることを示唆する。しかし、ここでは角度の関係を用いる別の方法で解く。

$\triangle ADE$において、$AE \perp AD$であるから、$\angle DAE = 90^{\circ}$。

よって、$\angle CAD + \angle EAB = 90^\circ - \angle CAD + \angle EAB$となる。

ここで、$\angle ADB$を$\alpha$とすると、$\angle ADE = 180 - \alpha$となり、$\angle AED = \angle DAC$となる。

また、$\angle CAE$と$\angle BAD$も等しい。

$\triangle ABD$と$\triangle CAE$は相似である。

したがって、$AB:CA = BD:AE$より、$12:9 = 4:AE$なので、$AE = 3$となる。

$\triangle ABD \sim \triangle CAE$より、$\frac{BD}{AE} = \frac{AB}{AC} = \frac{AD}{CE}$。

$\frac{4}{3} = \frac{12}{9} = \frac{AD}{CE}$なので、$CE = \frac{3AD}{4}$。

$\frac{BE}{CA} = \frac{AB}{AD}$。

次に、方べきの定理を利用する。点Dにおける割線定理を考える。

$BE \cdot CE = DE \cdot AE$

三角形ADEと三角形ADCの相似を利用する。

$BE/AB = CD/AC$という関係が成り立つ。

$BE = x$とおくと、

$x/12 = 3/9$となり、$x=4$となる。よって、$BE=4$。

$CE = BE + BC = 4 + 7 = 11$

面積比について、$\frac{\triangle ACD}{\triangle ACE} = \frac{CD}{CE} = \frac{3}{11}$。

3. 最終的な答え

$BE = 4$

$\triangle ACD$の面積は$\triangle ACE$の面積の$\frac{3}{11}$倍である。